Zeigen Sie, dass eine streng monoton wachsende Abbildung f:R⟶R injektiv ist.

Question

Zeigen Sie, dass eine streng monoton wachsende Abbildung $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ injektiv ist.

Comments

Steht da wirklich Abbildung und nicht Funktion?

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Also ich habe richtig abgeschrieben ;)

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Wieviele Bildwerte kann denn ein Urbild bei einer Abbildung haben?

Tschaka arbeitet mit Funktionen. Geht das trotzdem?

Answer 1

Aloha :)

Eine Funktion ist injektiv, wenn jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal erreicht wird. Nehmen wir an, es gebe zwei verschiedene Werte $a,b\in\mathbb{R}$ aus der Definitionsmenge $\mathbb{R}$, die dasselbe Bild haben, also $f(a)=f(b)$. Da $a\ne b$ ist, muss eine Zahl größer als die andere sein, dies sei hier die Zahl $b$. Dann ist also $b>a$. Da die Funktion $f$ streng monoton wachsend ist, gilt dann aber auch $f(b)>f(a)$. Das ist ein Widerspruch zu der Annahme, dass $f(a)=f(b)$ gilt.

Es gibt also keine 2 ungleichen Zahlen $a,b$ aus der Definitionsmenge, die dasselbe Bild haben. Jedes Element der Zielmenge wird daher höchstens 1-mal erreicht. Die Funktion ist injektiv.