Zeigen Sie, dass eine streng monoton wachsende Abbildung f:R⟶R injektiv ist.

Question

Zeigen Sie, dass eine streng monoton wachsende Abbildung \( f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \) injektiv ist.

Comments

Steht da wirklich Abbildung und nicht Funktion?

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Also ich habe richtig abgeschrieben ;)

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Wieviele Bildwerte kann denn ein Urbild bei einer Abbildung haben?

Tschaka arbeitet mit Funktionen. Geht das trotzdem?

Answer 1

Aloha :)

Eine Funktion ist injektiv, wenn jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal erreicht wird. Nehmen wir an, es gebe zwei verschiedene Werte \(a,b\in\mathbb{R}\) aus der Definitionsmenge \(\mathbb{R}\), die dasselbe Bild haben, also \(f(a)=f(b)\). Da \(a\ne b\) ist, muss eine Zahl größer als die andere sein, dies sei hier die Zahl \(b\). Dann ist also \(b>a\). Da die Funktion \(f\) streng monoton wachsend ist, gilt dann aber auch \(f(b)>f(a)\). Das ist ein Widerspruch zu der Annahme, dass \(f(a)=f(b)\) gilt.

Es gibt also keine 2 ungleichen Zahlen \(a,b\) aus der Definitionsmenge, die dasselbe Bild haben. Jedes Element der Zielmenge wird daher höchstens 1-mal erreicht. Die Funktion ist injektiv.