Wie zeigt man das A={an :n∈N} abzählbar ist?

Question

Aufgabe:

Sei (an) eine konvergente Folge mit Grenzwert a und sei A die Menge der Folgenglieder von (an), also A={an :n∈N}.
1. Zeigen Sie, dass A höchstens abzählbar ist.

Problem/Ansatz:

Ich weiß wie eine abzählbare Menge definiert ist aber ich habe keine Ahnung, wie ich das anhand der Aufgabe zeigen soll.

Answer 1

Die Folge ist eine surjektive Abbildung f: ℕ→A

Daraus kann man eine Abbildung g: A→ℕ wie folgt definieren

        m ↦ min {n ∈ ℕ | a_n = m}.

Diese Abbildung ist injektiv. Also ist |A| ≤ |ℕ|.

Die Vorraussetzung, dass (a_n)_n∈ℕ konvergent ist, wird nicht benötigt.