Gewöhnliche Diff. Glg Ansatz

Question

Aufgabe:

                        x" -4x = 4te^(2t)-4t

 

Problem/Ansatz:

ich finde für die folgende Dgl. keinen sinnvollen Ansatz.
    Könnte mir jemand den geeigneten Ansatz sagen und mir das erklären bzw. eine Quelle nennen, wo ich es lernen kann ?
    Vielen Dank im Voraus.

Comments

Was ist Variable, was ist Parameter, wonach wird bei x'' überhaupt abgeleitet?

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x(t) sollte noch davor stehen.

Answer 1

Aloha :)

1) Vereinfachung der DGL:$$x''(t)-4x(t)=4te^{2t}-4t$$Erstmal wollen wir den Term $-4t$ loswerden, dazu addieren wir auf beiden Seiten $4t$$$x''(t)-4x(t)+4t=4te^{2t}$$$$x''(t)-4\left(\,x(t)-t\,\right)=4te^{2t}$$Definiere $y(t):=x(t)-t$, dann ist $y''(t)=x''(t)$ und die DGL lautet:$$y''(t)-4y(t)=4te^{2t}\quad;\quad \underline{y(t)=x(t)-t}$$

2) Spezielle Lösung:

Wir suchen zuerst eine spezielle Lösung $y_s(t)$. Dazu empfiehlt sich ein Exponentialansatz, damit wir später die e-Funktion rauskürzen können:$$y_s(t)=f(t)e^{2t}$$$$y'_s(t)=f'(t)e^{2t}+2f(t)e^{2t}$$$$y''_s(t)=f''(t)e^{2t}+2f'(t)e^{2t}+2f'(t)e^{2t}+4f(t)e^{2t}$$$$\phantom{y''_s(t)}=f''(t)e^{2t}+4f'(t)e^{2t}+4f(t)e^{2t}$$Wir setzen das in die DGL ein:$$4te^{2t}\stackrel{!}{=}y''_s(t)-4y(t)=f''(t)e^{2t}+4f'(t)e^{2t}+4f(t)e^{2t}-4f(t)e^{2t}$$$$4te^{2t}=f''(t)e^{2t}+4f'(t)e^{2t}$$$$4t=f''(t)+4f'(t)$$Wir wollen eine möglichst einfache Lösung, also wählen wir:$$f''(t)=a\quad\text{bzw.}\quad f'(t)=at+b\quad;\quad a,b=\text{const}$$und setzen ein:$$4t=a+4(at+b)=4at+(a+4b)$$Koeffizientenvergleich liefert $a=1$ und $a+4b=0$ bzw. $b=-\frac{1}{4}$. Damit ist:$$f'(t)=t-\frac{1}{4}\quad\text{bzw.}\quad f(t)=\frac{t^2}{2}-\frac{t}{4}+c\quad;\quad c=\text{const}$$Da wir nur irgendeine spezielle Lösung brauchen, können wir $c=0$ setzen:$$\underline{y_s=\left(\frac{t^2}{2}-\frac{t}{4}\right)\,e^{2t}}$$

3) Homogene Lösung:

Die Lösung der homogenen DGL$$y_0''(t)-4y_0(t)=0$$funktioniert wie üblich über Exponentialansatz:$$y_0(t)=a\,e^{\lambda t}\quad;\quad y_0'(t)=a\lambda\,e^{\lambda t}\quad;\quad y_0''(t)=a\lambda^2\,e^{\lambda t}$$Einsetzen führt auf eine quadratische Gleichung für $\lambda$:$$a\lambda^2\,e^{\lambda t}-4a\lambda\,e^{\lambda t}=0$$$$\lambda^2-4\lambda=0$$$$\lambda=\pm2$$Es gibt also 2 mögliche Lösungen, die miteinander linear kombiniert werden können:$$\underline{y_0(t)=ae^{2t}+be^{-2t}}$$

4) Lösung zusammenbauen:

Die allgemeine Lösung ist die Summe aus homogener und spezieller Lösung:$$y(t)=y_0(t)+y_s(t)=ae^{2t}+be^{-2t}+\left(\frac{t^2}{2}-\frac{t}{4}\right)\,e^{2t}$$Oben hatten wir zur Einfachung $y(t)=x(t)-t$ vereinbart, daher ist die endgültige Lösung:$$\boxed{x(t)=ae^{2t}+be^{-2t}+\left(\frac{t^2}{2}-\frac{t}{4}\right)\,e^{2t}+t}\quad;\quad a,b=\text{const}$$

Answer 2

Hallo,

zuerst mal eine DGL ohne Störfunktion (rechte Seite)

http://statistik.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node185.html

Der Ansatz lautet: x =e^(λ t)

Den mußt Du 2 Mal ableiten und in die DGL einsetzen.

Dann bekommst die  die charakteristische Gleichung:

hier λ² -4=0

λ₁ = 2 ->   x1(t)=e^(2t)

λ₂= -2  >  x2(t)=e^(-2t)

x_h= x₁(t) +x₂(t)

Ergebnis hier für die homogene Gleichung:

x_h=C₁ e^(-2t) +C₂ e^(2t)