Untersuchung von Lineare Abhängigkeit/-Unabhängigkeit

Question

Hallo,

wenn ich untersuchen soll, ob 3 Vektoren komplanar oder nicht komplanar sind, dann bilde ich die Linearkombination nach

r*Vektor a + s*Vektor b = Vektor c und danach löse ich das LGS auf weil ich das besser verstanden habe als r*Vektor a + s*Vektor b + t*Vektor c = 0 Vektor

Und meine Frage ist jetzt nun: Wenn die Aufgabe aber lautet, "untersuchen sie ob die Vektoren linear unabhängig oder abhängig sind", kann ich dann das gleiche machen oder muss man da andere lösungswege machen? LG

Answer 1

Ich glaube hier liegt ein Missverständnis vor.

Was folgerst du, wenn r*Vektor a + s*Vektor b = Vektor c keine Lösung hat?

Dass die 3 Vektoren nicht komplanar sind? Das wäre falsch!

Nimm \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0\end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0\end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 0\\1\\0\end{pmatrix} \)

Kombiniere den dritten aus den andern!

r \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0\end{pmatrix} \) +s\( \begin{pmatrix} 1\\0\\0\end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 0\\1\\0\end{pmatrix} \)

geht nicht, trotzdem sind die 3 Vektoren komplanar.

Korrekt ist nur der Test: r*Vektor a + s*Vektor b + t*Vektor c = 0 Vektor

Wenn dann zwingend folgt: r=s=t=0, dann sind die Vektoren "linear unabhängig", was bei 3 Vektoren dasselbe bedeutet wie "nicht komplanar". Wenn außer r=s=t=0 noch andere Lösungen existieren, sind die 3 Vektoren komplanar, was bei 3 Vektoren dasselbe ist wie linear abhängig.

Comments

1.Frage) Wofür kann ich den Weg dann benutzen?

2.Frage) ", dann sind die Vektoren "linear unabhängig", was bei 3 Vektoren dasselbe bedeutet wie "komplanar"." Ich dachte, komplanar bedeutet auf einer Ebene liegend und wenn es linear unabhängig ist, also wenn eines aus der Ebene heraussticht, kann es eben nicht komplanar sein?

3.Frage) In diesem Video

meinte aber, damit geht das also zu beweisen das es komplanar/nicht komplanar ist und in meinem buch wurde auch beschrieben, dass mein weg geht, nur das dieser umständlich ist

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zu 1): Um zu zeigen, wie oder ob man einen Vektor aus den anderen kombinieren kann.

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aber es wurde auch oft erklärt, auch in meinem buch, dass man damit beweisen kann, ob drei vektoren komplanar oder nicht komplanar sind.

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zu 2): habs verbessert:

3 Vektoren heißen komplanar, heißt dasselbe wie: Sie sind linear abhängig.

3 Vektoren sind "nicht komplanar", heißt dasselbe wie: Sie sind "linear unabhängig".

zu3) Video:

Er behauptet: Wenn r*Vektor a + s*Vektor b = Vektor c eine Lösung hat, sind die Vektoren komplanar. Das stimmt. Aber was ist, wenn nicht? Dann können sie komplanar, aber auch nicht sein.

Also ist das kein guter, immer anwendbarer Test.

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"aber es wurde auch oft erklärt, auch in meinem buch, dass man damit beweisen kann, ob drei vektoren komplanar oder nicht komplanar sind."

Die grüne Aussage stimmt.

Und die rote? Was meinst du zu der Gleichung in der 6. Zeile meiner Antwort ganz oben!

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ich kann aber kein LGS mit drei variabeln r, s, t lösen das ist zu viel gibt es da net einen anderen weg

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Nimm die einfachste Gleichung. Löse nach einer Variablen auf und setze das Ergebnis in die beiden anderen Gleichungen ein. Dann hast du nur noch 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten. Nach ein paar Beispielaufgaben kannst du das.

Answer 2

Aloha :)

Zur Untersuchung, ob Vektoren linear abhängig sind oder nicht, kannst du sie einfach als Zeilen in eine Matrix schreiben und diese Matrix dann durch elementare Zeilen-Umformungen auf Dreiecksform bringen. Wenn dabei mindestens eine Zeile entsteht, die nur \(0\)-Einträge hat, sind die Vektoren linear abhängig. Andernfalls sind sie linear unabhängig. Wenn nämlich eine \(0\)-Zeile entsteht, ist sie ja dadurch hervorgegagen, dass du zuvor Vielfache der anderen Spalten addiert oder subtrahiert hast.

Dasselbe kannst du natürlich auch machen, indem du die Vektoren als Spalten in eine Matrix einträgst und dann elementare Spaltenumformungen durchführst, um sie auf Dreieckform zu bringen.

Bei der Frage, ob z.B. 3 Vektoren "komplanar" (= in derselbeb Ebene) sind, musst du zeigen, dass die 3 Vektoren linear abhängig sind.