linear Unabhängigkeit/Abhängigkeit zeigen

Question

Aufgabe:

Seien \( V, W \) Vektorräume und \( T: V \rightarrow W \) eine lineare Abbildung. Zeigen Sie:

a) Sind \( \mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{N} \in V \) linear unabhängig, so sind auch die Bilder \( T\left(\mathbf{v}_{1}\right), \ldots, T\left(\mathbf{v}_{N}\right) \in W \) linear unabhängig, falls \( T \) injektiv ist.

b) \( T \) ist injektiv \( \Longleftrightarrow(T(\mathbf{v})=0 \Rightarrow \mathbf{v}=0) \).

Comments

a) Nimm dir eine Linearkombination der 0

$$ \lambda_1 T(v_1) + \dotsm + \lambda_n T(v_n) = 0 $$

Nutze die Linearität um die linke Seite zusammenzufassen. Injektivität, \( T(0) = 0 \) und linear Unabhängigkeit der \( v_i \) um zu folgern, dass \( \lambda_1=\dotsm=\lambda_n = 0 \)-

b) => Sollte klar sein. Es ist immer T(0) = 0.

<= per Kontraposition, also zeige

f nicht injektiv => Es existiert ein v mit \( v \neq 0 \) und \( T(v) = 0 \)

Da f nicht injektiv ist gibt es \( v \neq w \) mit \( T(v) = T(w) \), dann ist aber \( T(v) - T(w) = 0 \). Wieder Linearität nutzen.

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Was genau bedeutet "Linearität benutzen"?

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T ist eine lineare Abbildung.

Also gilt T(v+w)=T(v)+T(w)

Und T(a*v) = a* T(v)

Diese Eigenschaft kann man ausnutzen um Terme umzuformen.