Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass die folgende Aussage für alle natürlichen Zahlen n≥0

Question

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass die folgende Aussage für alle natürlichen Zahlen \( n \geq 0 \) erfüllt ist

$$ \left(\sum \limits_{k=0}^{n} 2^{k}=\right) 1+2+4+\ldots+2^{n}=2^{n+1}-1 $$

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass die folgende Aussage für alle natürlich Zahlen n ≥ 0 erfüllt ist:

Stichworte: induktion

Text erkannt:

and The reven dive the rese
\( \Leftrightarrow \quad \Leftrightarrow \quad \mathbf{i} \quad \odot \)

 

Text erkannt:

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass die folgende Aussage für alle natürlich Zahlen \( n \geq 0 \) erfüllt ist:
$$ \left(\sum \limits_{k=0}^{n} 2^{k}=\right) 1+2+4+\ldots+2^{n}=2^{n+1}-1 $$

Aufgabe:

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Hast du Elma bei Küronya?? ;)

Answer 1

\( 1+2+4+\ldots+2^{n}=\sum \limits_{k=0}^{n} 2^{k}=2^{n+1}-1 \)                   (für alle \( n \geq 0) \)

Induktionsanfang:  \( n=1 \) :     linke Seite 1

                                                rechte Seite:  \( 2^{\text {0+1 }}-1=1 \)

Induktionsschluss:
\( \sum \limits_{k=0}^{n+1} 2^{k}=\sum \limits_{k=0}^{n} 2^{k}+2^{n+1}=2^{n+1}-1+2^{n+1}=2 \cdot 2^{n+1}-1=2^{n+2}-1 \quad \) q.e.d.

Answer 2

Den Anfang für n=0 bekommst du bestimmt selbst hin.

Zum Induktionsschritt:

\( \sum\limits_{k=0}^{n+1}{2^k} \) = \( \sum\limits_{k=0}^{n}{2^k} \) + \( 2^{n+1} \) 

Jetzt kannst du die Annahme einsetzen:

= \( 2^{n+1} \) - 1 + \( 2^{n+1} \)

= 2*\( 2^{n+1} \) - 1

Und mit den Potenzgesetzen folgt

= \( 2^{n+1+1} \) - 1

Und fertig :)

Answer 3

Auf diesem Link findest du ganz viele Induktionsaufgaben. Da steht auch die lösung von deiner Aufgabe.

Und der link dient auch zur Übung.

https://www.emath.de/Referate/induktion-aufgaben-loesungen.pdf

https://www.mathelounge.de/695259/beweisen-vollstandiger-induktion-folgende-aussage-naturlichen

Und die frage wurde gestern oder heute auch gestellt