Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass die folgende Aussage für alle natürlichen Zahlen n≥0 n \geq 0 n≥0 erfüllt ist
(∑k=0n2k=)1+2+4+…+2n=2n+1−1 \left(\sum \limits_{k=0}^{n} 2^{k}=\right) 1+2+4+\ldots+2^{n}=2^{n+1}-1 (k=0∑n2k=)1+2+4+…+2n=2n+1−1
Vom Duplikat:
Titel: Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass die folgende Aussage für alle natürlich Zahlen n ≥ 0 erfüllt ist:
Stichworte: induktion
Text erkannt:
and The reven dive the rese⇔⇔i⊙ \Leftrightarrow \quad \Leftrightarrow \quad \mathbf{i} \quad \odot ⇔⇔i⊙
Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass die folgende Aussage für alle natürlich Zahlen n≥0 n \geq 0 n≥0 erfüllt ist:(∑k=0n2k=)1+2+4+…+2n=2n+1−1 \left(\sum \limits_{k=0}^{n} 2^{k}=\right) 1+2+4+\ldots+2^{n}=2^{n+1}-1 (k=0∑n2k=)1+2+4+…+2n=2n+1−1
Aufgabe:
Hast du Elma bei Küronya?? ;)
1+2+4+…+2n=∑k=0n2k=2n+1−1 1+2+4+\ldots+2^{n}=\sum \limits_{k=0}^{n} 2^{k}=2^{n+1}-1 1+2+4+…+2n=k=0∑n2k=2n+1−1 (für alle n≥0) n \geq 0) n≥0)Induktionsanfang: n=1 n=1 n=1 : linke Seite 1
rechte Seite: 20+1 −1=1 2^{\text {0+1 }}-1=1 20+1 −1=1
Induktionsschluss:∑k=0n+12k=∑k=0n2k+2n+1=2n+1−1+2n+1=2⋅2n+1−1=2n+2−1 \sum \limits_{k=0}^{n+1} 2^{k}=\sum \limits_{k=0}^{n} 2^{k}+2^{n+1}=2^{n+1}-1+2^{n+1}=2 \cdot 2^{n+1}-1=2^{n+2}-1 \quad k=0∑n+12k=k=0∑n2k+2n+1=2n+1−1+2n+1=2⋅2n+1−1=2n+2−1 q.e.d.
Den Anfang für n=0 bekommst du bestimmt selbst hin.
Zum Induktionsschritt:
∑k=0n+12k \sum\limits_{k=0}^{n+1}{2^k} k=0∑n+12k = ∑k=0n2k \sum\limits_{k=0}^{n}{2^k} k=0∑n2k + 2n+1 2^{n+1} 2n+1
Jetzt kannst du die Annahme einsetzen:
= 2n+1 2^{n+1} 2n+1 - 1 + 2n+1 2^{n+1} 2n+1
= 2*2n+1 2^{n+1} 2n+1 - 1
Und mit den Potenzgesetzen folgt
= 2n+1+1 2^{n+1+1} 2n+1+1 - 1
Und fertig :)
Auf diesem Link findest du ganz viele Induktionsaufgaben. Da steht auch die lösung von deiner Aufgabe.
Und der link dient auch zur Übung.
https://www.emath.de/Referate/induktion-aufgaben-loesungen.pdf
https://www.mathelounge.de/695259/beweisen-vollstandiger-induktion-f…
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