0 Daumen
904 Aufrufe


Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass die folgende Aussage für alle natürlichen Zahlen n0 n \geq 0 erfüllt ist

(k=0n2k=)1+2+4++2n=2n+11 \left(\sum \limits_{k=0}^{n} 2^{k}=\right) 1+2+4+\ldots+2^{n}=2^{n+1}-1

Avatar von

Vom Duplikat:

Titel: Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass die folgende Aussage für alle natürlich Zahlen n ≥ 0 erfüllt ist:

Stichworte: induktion


8382EC46-871F-49B7-B8EF-459DDBBADA06.png

Text erkannt:

and The reven dive the rese
i \Leftrightarrow \quad \Leftrightarrow \quad \mathbf{i} \quad \odot

 AE498DED-582F-4885-979F-2F91114421C4.jpeg

Text erkannt:

Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass die folgende Aussage für alle natürlich Zahlen n0 n \geq 0 erfüllt ist:
(k=0n2k=)1+2+4++2n=2n+11 \left(\sum \limits_{k=0}^{n} 2^{k}=\right) 1+2+4+\ldots+2^{n}=2^{n+1}-1

Aufgabe:

Hast du Elma bei Küronya?? ;)

3 Antworten

+1 Daumen
 
Beste Antwort


1+2+4++2n=k=0n2k=2n+11 1+2+4+\ldots+2^{n}=\sum \limits_{k=0}^{n} 2^{k}=2^{n+1}-1                    (für alle n0) n \geq 0)

Induktionsanfang:  n=1 n=1 :     linke Seite 1

                                                rechte Seite:  20+1 1=1 2^{\text {0+1 }}-1=1

Induktionsschluss:
k=0n+12k=k=0n2k+2n+1=2n+11+2n+1=22n+11=2n+21 \sum \limits_{k=0}^{n+1} 2^{k}=\sum \limits_{k=0}^{n} 2^{k}+2^{n+1}=2^{n+1}-1+2^{n+1}=2 \cdot 2^{n+1}-1=2^{n+2}-1 \quad q.e.d.

Avatar von
0 Daumen

Den Anfang für n=0 bekommst du bestimmt selbst hin.

Zum Induktionsschritt:

k=0n+12k \sum\limits_{k=0}^{n+1}{2^k} k=0n2k \sum\limits_{k=0}^{n}{2^k} 2n+1 2^{n+1}  

Jetzt kannst du die Annahme einsetzen:

2n+1 2^{n+1} - 1 + 2n+1 2^{n+1}

= 2*2n+1 2^{n+1} - 1

Und mit den Potenzgesetzen folgt

2n+1+1 2^{n+1+1} - 1

Und fertig :)

Avatar von
0 Daumen

Auf diesem Link findest du ganz viele Induktionsaufgaben. Da steht auch die lösung von deiner Aufgabe.

Und der link dient auch zur Übung.

https://www.emath.de/Referate/induktion-aufgaben-loesungen.pdf

https://www.mathelounge.de/695259/beweisen-vollstandiger-induktion-f…

Und die frage wurde gestern oder heute auch gestellt

Avatar von

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage