Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass die folgende Aussage für alle natürlichen Zahlen n≥1 erfüllt ist:

Question

Übung 4 (4 Punkte) Sei \( q \in \mathbb{R} \) mit \( 0<|q|<1 \) gegeben. Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass die folgende Aussage für alle natürlichen Zahlen \( n \geq 1 \) erfüllt ist:
$$ \left(\sum \limits_{k=0}^{n} q^{k}=\right) 1+q+q^{2}+\ldots+q^{n}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q} $$

Answer 1

Hallo

den Induktionsanfang kannst du ja wohl? dann brauchst du nur noch

$$\frac{1-q^{n+1}}{1-q}+q^{n+1}=\frac{1-q^{n+2}}{1-q}$$

dazu bring die linke Seite auf den Hauptnenner.

Gruß lul

Answer 2

Addiere den nächsten Summanden qⁿ⁺¹ auf beiden Seiten der Gleichung. Dann steht links die Summe von 0 bis n+1 und rechts \( \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \) + qⁿ⁺¹. Diese Summe auf dem Hauptnenner: \( \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \) +\( \frac{q^{n+1}-q^{n+2}}{1-q} \) = \( \frac{1-q^{n+2}}{1-q} \).