λv=0 ⇔ λ=0 oder v=0.

Question

Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Zeigen Sie, dass für λ ∈ K und v ∈ V gilt: (a) λv=0 ⇔ λ=0 oder v=0.

Ich bin noch leicht verwirrt, da ich denke ich muss mit dem neutralen Element argumentieren, aber das gilt ja für die Addition und nicht für die Multiplikation.

Eine Erklärung würde mir 100 mal mehr bringen als die Lösung danke.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie, dass für λ∈K und v∈V gilt:

Stichworte: vektorraum

Sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$ -Vektorraum. Zeigen Sie, dass für $\lambda \in K$ und $v \in V$ gilt:
(a) $\lambda v=0 \Leftrightarrow \lambda=0$ oder $v=0$

Answer 1

Aloha :)

Wir zeigen zunächst die Rückrichtung $\Leftarrow$:

R1) $\;0\cdot v=0$ für alle $v\in V$

R2) $\;\lambda\cdot 0=0$ für alle $\lambda\in K$

zu R1)$$\left.\begin{array}{l}\text{Es gilt:} & 0\cdot v=(0+0)\cdot v=0\cdot v+0\cdot v\\\text{Es gilt auch:} & 0\cdot v= 0 + 0\cdot v\end{array}\right\}\quad\Rightarrow\quad 0\cdot v=0$$zu R2)$$\left.\begin{array}{l}\text{Es gilt:} & \lambda\cdot 0=\lambda\cdot(0+0)=\lambda\cdot 0+\lambda\cdot 0\\\text{Es gilt auch:} & \lambda\cdot 0= 0 + \lambda\cdot 0\end{array}\right\}\quad\Rightarrow\quad \lambda\cdot 0=0$$

Jetzt wenden wir uns der Hinrichtung $\Rightarrow$ zu:

Sei $\lambda\cdot v=0$ und $\lambda\ne0$, dann existiert ein zu $\lambda$ inverses Element $\lambda^{-1}$ und es gilt:$$v=1\cdot v=(\lambda^{-1}\cdot\lambda)\cdot v=\lambda^{-1}\cdot(\lambda\cdot v)=\lambda^{-1}\cdot0=0\;\;(\text{nach R2})$$Sei $\lambda\cdot v=0$ und $v\ne0$, dann gilt:$$\lambda\cdot v=\lambda\cdot v+0=\lambda\cdot v+\lambda\cdot v=(\lambda+\lambda)\cdot v\quad\Rightarrow\quad \lambda=2\lambda\quad\Rightarrow\quad\lambda=0$$

Answer 2

Hallo

 multipliziere Skala mit v, dann hast du immer noch 0, aber das Produkt von 2 reellen Zahlen für die die Behauptung gilt. und einer einzige Vektor mit Betrag 0 ist der 0 Vektor.

Gruß lul