Beweis Vektor (u+λv)*v=u*v

Question

Beweisen Sie, dass für alle u,v ∈ R³ und für alle λ ∈R gilt:

(u+λv)*v=u*v

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Analytische Geometrie Beweise führen

Stichworte: analytische-geometrie

Hallo. Wie löse ich diese Aufgaben?

(b) Beweisen oder widerlegen Sie: Für alle \( u, v, w \in \mathbb{R}^{3} \) mit \( u \times w=v \times w \) ist \( u=v \)
(c) Beweisen Sie, dass für alle \( u, v \in \mathbb{R}^{3} \) und für alle \( \lambda \in \mathbb{R} \) gilt:
$$ (u+\lambda v) \times v=u \times v $$

Answer 1

Das ist Quatsch. \( u = \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \), \( v= \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \) und \( \lambda = 1 \) ist ein Gegenbeispiel.

Comments

Zweimal u setzen?

---

Hab ich geändert

---

Und wie interpretierst du die Multiplikation zweier Spaltenvektoren?

---

Skalarprodukt

Answer 2

für alle u,v ∈ R³

Setze

        u = \(\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{pmatrix}\) und v = \(\begin{pmatrix} v_1\\v_2\\v_3 \end{pmatrix}\)

ein. Forme dann die linke Seite so lange um bis du die rechte Seite bekommst.

(u+λv)*v=u*v

Das Kreuzprodukt wird mit × bezeichnet, nicht mit *.

Answer 3

Hallo,

aus \( (u + \lambda v) v = uv \) folgt \( \lambda v^2 = 0 \).

Das aber bedeutet \( \lambda = 0 \) oder \( v = 0 \).

Ist mit der Operation aber das Kreuzprodukt gemeint, so ist die Bedingung \( v^2 = v \times v = 0 \) immer erfüllt.

Grüße

Mister