Konvergiert die Reihe:
∑n=1∞n!nn \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} n=1∑∞nnn! ??
Quotientenkriterium scheitert...wie geht das in dem Fall sonst?
herlichen Dank
Hubert
Alternativ hat man mit n!nn=∏k=1nkn≤1n⋅2n⋅∏k=3nnn=2n2\displaystyle\frac{n!}{n^n}=\prod_{k=1}^n\frac kn\le\frac1n\cdot\frac2n\cdot\prod_{k=3}^n\frac nn=\frac2{n^2}nnn!=k=1∏nnk≤n1⋅n2⋅k=3∏nnn=n22 eine konvergente Majorante.
Aloha :)
∣an+1an∣=(n+1)!(n+1)n+1n!nn=(n+1)!n!nn(n+1)n+1=(n+1)nn(n+1)n+1=nn(n+1)n\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{n!}{n^n}}=\frac{(n+1)!}{n!}\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}=(n+1)\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}=\frac{n^n}{(n+1)^n}∣∣∣∣∣anan+1∣∣∣∣∣=nnn!(n+1)n+1(n+1)!=n!(n+1)!(n+1)n+1nn=(n+1)(n+1)n+1nn=(n+1)nnn∣an+1an∣=(nn+1)n=(n+1−1n+1)n=(1−1n+1)n=(1−1n+1)n+11−1n+1\phantom{\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=\left(\frac{n+1-1}{n+1}\right)^n=\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n=\frac{\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{n+1}}∣∣∣∣∣anan+1∣∣∣∣∣=(n+1n)n=(n+1n+1−1)n=(1−n+11)n=1−n+11(1−n+11)n+1limn→∞∣an+1an∣=limn→∞((1−1n+1)n+1)limn→∞(1−1n+1)=e−11=1e<1⇒Konvergenz!\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}\left(\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\right)}{\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)}=\frac{e^{-1}}{1}=\frac{1}{e}<1\quad\Rightarrow\quad\text{Konvergenz!}n→∞lim∣∣∣∣∣anan+1∣∣∣∣∣=n→∞lim(1−n+11)n→∞lim((1−n+11)n+1)=1e−1=e1<1⇒Konvergenz!
aaaaahhhh! okay, vielen dank!! ;)
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