Question

Konvergiert die Reihe:

$$ \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} $$ ??

Quotientenkriterium scheitert...wie geht das in dem Fall sonst?

herlichen Dank

Hubert

Comments

Alternativ hat man mit  \(\displaystyle\frac{n!}{n^n}=\prod_{k=1}^n\frac kn\le\frac1n\cdot\frac2n\cdot\prod_{k=3}^n\frac nn=\frac2{n^2}\)  eine konvergente Majorante.

Answer 1

Aloha :)

$$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{n!}{n^n}}=\frac{(n+1)!}{n!}\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}=(n+1)\frac{n^n}{(n+1)^{n+1}}=\frac{n^n}{(n+1)^n}$$$$\phantom{\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|}=\left(\frac{n}{n+1}\right)^n=\left(\frac{n+1-1}{n+1}\right)^n=\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n=\frac{\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{n+1}}$$$$\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}\left(\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\right)}{\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)}=\frac{e^{-1}}{1}=\frac{1}{e}<1\quad\Rightarrow\quad\text{Konvergenz!}$$

Comments

aaaaahhhh! okay, vielen dank!! ;)