Differenzierbarkeit von f(x)=ln(1-x)

Question

ich versuche die Funktion

\( f(x)=\ln (1-x) \)

mit der h-Methode auf Differenzierbarkeit zu überprüfen.

Leider bin ich damit nicht weit gekommen... Kann mir vielleicht jemand einen Hinweis geben, wie ich den ln umformen kann, um an verwertbare Ergebnisse zu kommen? Oder muss ich hier womöglich ganz anders herangehen?

So weit habe ich es mal umgeformt, aber komme nun nicht weiter:

\( \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1-x_{0}-h\right)-\ln \left(1-x_{0}\right)}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\ln \left(\frac{1-x_{0}-h}{1-x_{0}}\right)}{h}=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1-\frac{h}{1-x_{0}}\right)}{h} \)

Answer 1

Ableitung mit der h-Methode vorgemacht:

Ableitung: LN(x) mit der h-Methode 

f'(x) = lim (h → 0) (LN(x + h) - LN(x)) / h

f'(x) = lim (h → 0) 1/h·LN((x + h)/x)

f'(x) = lim (h → 0) 1/h·LN(x/x + h/x)

f'(x) = lim (h → 0) 1/h·LN(1 + h/x)

f'(x) = lim (h → 0) 1/h·LN(1 + 1/x / (1/h))

f'(x) = lim (h → 0) LN((1 + 1/x / (1/h))^{1/h})

Substitution: n = 1/h und lim n → ∞

f'(x) = lim (n → ∞) LN((1 + 1/x / n)^n)

Grenzwert: (1 + z / n)^n = e^z

f'(x) = LN(e^{1/x}) =

f'(x) = 1/x

Die Ableitung von LN(1 - x) folgt jetzt analog dazu. Probier es zunächst mal selber anhand meiner Ableitung. Wenn du nicht weiter kommst, dann schreibe mal deinen Lösungsweg hin, soweit du ihn hast, und sag genau, wo du Probleme hast.

Comments

Folgenden Schritt verstehe ich nicht ganz, wie kommst du von:

\( \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \times \ln \left(1+\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{h}}\right) \)

auf:

\( \lim \limits_{h \rightarrow 0} \ln \left(\left(1+\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{h}}\right)^{\frac{1}{h}}\right) \)

Da liegt ja mein Problem, dass ich h aus dem Nenner nicht herausbekomme.

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oh, ich esel.... log_x(y^z)=z×log_x(y)     richtig?

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Ja genau. Man bringt das 1/h als Exponent in den ln.

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Also in meinem Fall dann:

\( \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \times \ln \left(1-\frac{h}{1-x_{0}}\right)=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \ln \left(\left(1-\frac{h}{1-x_{0}}\right)^{\frac{1}{h}}\right)=\ln (1)=0 \)

Das kann doch aber nicht stimmen... oder?

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h/(1-x0) = 1/(1-x0) / (1/h)

ln(1 - (1/(1-x0) / (1/h))^{1/h}) = ln(e^{1/(1-x0)}) = 1/(1-x0)

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oh, muss es nicht -1/(1-x₀) heißen am Ende?

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Ja. Eigentlich sollte das Vorzeichen negativ sein.

Du hast bei dir auch im lim 1 - h/(1-x0) dort muss ein + stehen. Das Minus kannst du also in den Nenner bringen. dann steht dort

1 + h/(x0 - 1) und dann passt das.