Lösen durch Additionstheoreme

Question

Aufgabe zum Thema Additionstheorme:

$$ \frac{sin(x)-tan(x)}{(cos(x)-1)·sin(x)} $$

Dank Wolframalpha ist mir bekannt , dass die Lösung der Aufgabe \( \frac{1}{cos(x)} \) ist. Ich weiß nur nicht, wie er darauf gekommen ist.

Comments

Das hat nichts mit den Additionstheoremen zu tun. Nur damit, dass tangens gleich sinus durch cosinus ist. Der Rest ergibt sich fast automatisch.

Answer 1

Aloha :)

$$\frac{\sin x-\tan x}{(\cos x-1)\sin x}=\frac{\sin x}{(\cos x-1)\sin x}-\frac{\tan x}{(\cos x-1)\sin x}$$$$=\frac{1}{\cos x-1}-\frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{(\cos x-1)\sin x}=\frac{1}{\cos x-1}-\frac{1}{(\cos x-1)\cos x}$$$$=\frac{\cos x}{(\cos x-1)\cos x}-\frac{1}{(\cos x-1)\cos x}=\frac{\cos x-1}{(\cos x-1)\cos x}=\frac{1}{\cos x}$$

Answer 2

\(\dfrac{\sin x-\tan x}{(\cos x-1)*\sin x}\underset{(1)}{=}\dfrac{1-\frac{1}{\cos x}}{\cos x-1}\underset{(2)}{=}\dfrac{(\cos x-1)\cdot \frac{1}{\cos x}}{\cos x-1}=\dfrac{1}{\cos x}\)

(1) mit sin x kürzen

(2) 1/cos x im Zähler auskammern