was ist eine Basis von einem Unterraum

Question

Also kann mir bitte jemand erklären was eine wie man eine Basis von einem unterraum berechnet, und am nbesten auch was den genau eine basis ist, ich lese zwar immer wieder was aber das bring mich irgendwie nicht weiter -.-

Muss ich wenn ich die basis berechne erstmal gucken ob die vektoren lin. unabhangig sind oder so?

Dankeschön schonmal :)

Answer 1

Die Basis eines Vektorraums ist das minimum an Vektoren, die du brauchst, um den ganzen Raum aufzuspannen.

z.B. für den Raum R³  bilden die Vektoren (1, 0, 0)^T ; (0, 1, 0)^T ; (0, 0, 1)^T  eine Basis des Vektorraums R³

genauso bilden aber auch die Vektoren (2, 0, 0)^T ; (0, 2, 0)^T ; (0, 0, 2)^T eine Basis des Vektorraums R³

Es ist also nicht so, dass es für irgendeinen Vektorraum DIE Basis gibt. logischerweise sind die Vektoren, die eine Basis bilden linear unabhängig, da mindestens ein Vektor sonst nicht benötigt werden würde um den Raum aufzuspannen.

Comments

Dankeschön endlich kann ich mir das ein bisschen bildlich vorstellen, also jetzt hab ichs:

Sagen wir mal es gibt einen Vektorraum mit halt seinen basis(en) :), und dann hat dieser vektorraum noch unterräume und diese unterräume können dann ja auch basen haben nicht wahr?, weil die müssen ja auch irgendwie aufgespannt werden?!

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genau so ist es. unterräume sind auch vektorräume mit basen.

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Ok ich kann mir das jetzt vorstellen aber wie rechne ich das?

Sagen wir mal wir haben ein Unterraum U= <(u1,u2,u3> also mit drei vektoren, wie berechne ich davon die basis?

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es gibt einen ganzen haufen vektorräume. nimm einfach die standardbasis, dann brauchst du nichts zu rechnen. falls du experimentieren möchtest, wähle u1, u2, u3 linear unabhängig.

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Langsam steig ich echt durch ..Vielen Dank :))