Question

Entscheiden, ob der Punkt P=(6|7|1) auf E liegt

Sei $\mathcal{E}$ die Ebene
$$\mathcal{E}=\left\{\left(\begin{array}{l} {1} \\ {1} \\ {1} \end{array}\right)+x\left(\begin{array}{l} {1} \\ {2} \\ {4} \end{array}\right)+y\left(\begin{array}{c} {-2} \\ {3} \\ {-1} \end{array}\right) | x, y \in \mathbb{R}\right\}$$
im $\mathbb{R}^{3} .$ Entscheiden Sie, ob der Punkt $P=\left(\begin{array}{c}{6} \\ {7} \\ {1}\end{array}\right)$ auf $\mathcal{E}$ liegt.

Comments

Was soll 6/7 für ein Punkt sein?

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Aloha :)

Der Punkt $P$ hat etwas wenig Koordinaten...

Answer 1

Aloha :)

Wenn der Punkt $(6|7|1)$ in der Ebene liegen soll, muss es $x,y$ geben, sodass Folgendes gilt:$$\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)+x\left(\begin{array}{c}1\\2\\4\end{array}\right)+y\left(\begin{array}{c}-2\\3\\-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\7\\1\end{array}\right)$$Das kann man noch etwas umformen:$$x\left(\begin{array}{c}1\\2\\4\end{array}\right)+y\left(\begin{array}{c}-2\\3\\-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\6\\0\end{array}\right)$$Das sind 3 Gleichungen für 2 Unbekannte. Wir berechnen nun $x,y$ aus den ersten beiden Gleichngen und prüfen, ob die dritte Gleichung dadurch ebenfalls erfüllt wird. Falls ja liegt der Punkt in der Ebene, sonst nicht.

$$\left.\begin{array}{c}x-2y&=&5\\2x+3y&=&6\end{array}\right\}\quad\Rightarrow\quad x=\frac{27}{7}\;\;;\;\;y=-\frac{4}{7}$$$$4\cdot x-y=4\cdot\frac{27}{7}+\frac{4}{7}=16\ne0$$

Der Punkt $(6|7|1)$ liegt nicht in der Ebene.