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Aufgabe:

Gegeben: Funktionsschaar fk (x) = x²•e-kx ;k>0

1. Ermitteln Sie den Hochpunkt der Funktion fk(x).

2. Geben Sie die Ortskurve der Hochpunkte der Funktionsschaar in Parameterdarstellung an.


Zu meinem Ansatz:

Bisher habe Ich die erste und zweite Ableitung gebildet.

k(x) = 2x•e-kx+x²•(-k)*e-kx = (2x-kx²)*e-kx

f´´k(x) = (k²x²-4kx+2)*e-kx

Ich wollte jetzt die erste Ableitung mit Null gleichsetzten und gucken ob ein Extrempunkt vorliegt in dem ich den Wert für x in die zweite Ableitung einsetze. Dann den x-Wert des Extremwerts in f(x) einsetzen und y berechnen.

Allerdings komme Ich überhaupt nicht weiter beim umformen der ersten Aleitung (die Ich gleich null gesetzt habe ) nach x.


Ich hoffe mir kann jemand helfen. Über eine schnelle Antwort würde Ich mich freuen.

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fk(x) = x2·e^(- k·x)

fk'(x) = e^(- k·x)·(2·x - k·x2) = 0

2·x - k·x2 = x·(k·x - 2) = 0 --> x = 0 ∨ x = 2/k

fk''(x) = e^(- k·x)·(k2·x2 - 4·k·x + 2)

fk''(0) = 2 > 0 → TP

fk''(2/k) = - 2/e2 < 0 → HP

fk(2/k) = 4/(e2·k2) → HP(2/k | 4/(e2·k2))

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