Hochpunkt/Ortskurve Funktionsschaar

Question

Aufgabe:

Gegeben: Funktionsschaar f_k (x) = x²•e^-kx ;k>0

1. Ermitteln Sie den Hochpunkt der Funktion f_k(x).

2. Geben Sie die Ortskurve der Hochpunkte der Funktionsschaar in Parameterdarstellung an.

Zu meinem Ansatz:

Bisher habe Ich die erste und zweite Ableitung gebildet.

f´_k(x) = 2x•e^-kx+x²•(-k)*e^-kx = (2x-kx²)*e^-kx

f´´_k(x) = (k²x²-4kx+2)*e^-kx

^{Ich wollte jetzt die erste Ableitung mit Null gleichsetzten und gucken ob ein Extrempunkt vorliegt in dem ich den Wert für x in die zweite Ableitung einsetze. Dann den x-Wert des Extremwerts in f(x) einsetzen und y berechnen.}

^{Allerdings komme Ich überhaupt nicht weiter beim umformen der ersten Aleitung (die Ich gleich null gesetzt habe ) nach x.}

^{Ich hoffe mir kann jemand helfen.} Über eine schnelle Antwort würde Ich mich freuen.

Answer 1

fk(x) = x²·e^(- k·x)

fk'(x) = e^(- k·x)·(2·x - k·x²) = 0

2·x - k·x² = x·(k·x - 2) = 0 --> x = 0 ∨ x = 2/k

fk''(x) = e^(- k·x)·(k²·x² - 4·k·x + 2)

fk''(0) = 2 > 0 → TP

fk''(2/k) = - 2/e² < 0 → HP

fk(2/k) = 4/(e²·k²) → HP(2/k | 4/(e²·k²))