Vektoren in 2 verschiedenen Untervektorräumen linear unabhängig?

Question

Aufgabe:

Seien U₁ und U₂ Unterräume eines Vektorraums V und U₁ ∩ U₂ = {0}.
Seien v₁ ∈ U₁ und v₂ ∈ U₂ beide ungleich 0. Zeigen Sie, dass v₁, v₂ linear unabhängig sind.

Problem/Ansatz:

Weiß leider überhaupt nicht weiter.
Weil v₁ und v₂ ungleich 0 sind, ist v₁ ∉ U₂ und v₂ ∉ U₁. 
Über Unterräume weiß ich, dass sie unter Vektoraddition, Skalarmultiplikation abgeschlossen sind.
Und "logisch" ist es irgendwie, dass Vektoren aus zwei verschiedenen Unterräumen, die sich nicht "überschneiden" auch linear unabhängig sein müssen. Nur formal weiß ich nicht leider nicht, wie ich da hin komme.

Answer 1

Hallo,

Beweis durch Widerspruch: Wir nehmen an, dass v_1 und v_2 linear abhängig sind, daher gilt

v_2=α*v_1 ∈ U_2

Da U_2 ein Unterraum ist, ist auch jedes Vielfaches von v_2 in U_2 , daher v_1 ∈ U_2. Damit ist aber

U_1 Schnitt U_2 ={0,v_1} , also ein Widerspruch zur Voraussetzung.