Parameter x für Matrizen

Question

Aufgabe:

Hallo, ich brauche Hilfe bei einer Aufgabenstellung. Zuerst die gegeben Information:

M=                    Von:
                  A      B      C
          A    0,8    0      0,1
Nach:  B  0,2    0,7    0,4
          C    0      0,3    0,5

1) Eine Firma hat die Standorte A, B und C. Die abgebildete Matrix M stellt die Anteile der Belegschaft dar, die jeweils nach einem Jahr den Standort wechseln bzw. am Standort bleiben. Im Jahr 2010 waren am Standort A 1600 Mitarbeiter, am Standort B 1000 Mitarbeiter und am Standort C 800 Mitarbeiter.

Aufgabe: Im Jahr 2020 beschließt die neue Firmenleitung den Anteil derjenigen die nach jedem Jahr an Standort A bleiben um x zu verringern und den Anteil der Wechsler von A nach B entsprechend zu erhöhen. Der Übergang nach 2 Jahren wird dann durch die folgende Matrix dargestellt:

N=                    Von:
                  A      B      C
          A    0,25    a₁₂      0,1
Nach:  B  0,6      a₂₂    0,53
          C  0,15     a₃₂    a₃₃

Weise nach, dass es solch ein x gibt und gib es an!



Ich hatte bereits einige Vermutungen, allerdings haben die mich nicht weitergebracht und bevor ich mühevoll meine Notizen rüberbringe, kann mir vielleicht jemand direkt helfen.

Quelle der Aufgabe: Mein Lehrer

Problem/Ansatz:

Ich habe bisher nur den Ansatz, dass ich für den Koeffizienten a₁₁: (1-x)·0,25 [1>x>0]      und für a₁₂: (1+x)·0,6    nehme. Allerdings komme ich damit bisher nicht weiter, ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Answer 1

a11: (1-x)·0,8   (Du musst ja von der "alten" Matrix ausgehen.)

          = 0,8-x

Der andere muss  a21 sein:

     und für a12: (1+x)·0,2   =  0,2+x .

Die so geänderte Matrix mit sich selbst multipliziert gibt

(x-0,8)^2                    0,03      0,13-0,1x 
(1,5-x)(x+0,2)            0,61      0,1x + 0,5 
0,3*(x+2)                  0,36        0,37

und jetzt vergleichen mit der Übergangsmatrix für 2 Jahre:

Dann muss ja z.B   gelten    (x-0,8)^2 = 0,25

                                            x-0,8 = ± 0,5

Hier gibt nur -0,5 Sinn und liefert  x = 0,3.

Entsprechend für die anderen Stellen, also etwa

             0,13-0,1x  = 0,1

Das passt auch mit x=0,3

und wenn es bei allen anderen Stellen auch passt, gibt

es so ein x ( nämlich 0,3) und damit ist alles gezeigt.