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Aufgabenstellung:

a) Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f an der Stelle x durch eine Grenzwertberechnung mit der

x → x0-Methode.

b) Berechnen Sie die Ableitung der Funktion g an der Stelle x0 durch eine Grenzwertberechnung mit der h-Methode, d. h. für h → 0.

c) Zeigen Sie, dass die Funktion h an der Stelle x0 = – 1 nicht differenzierbar ist, indem Sie den links- und den rechtsseitigen Grenzwert an der Stelle x0 = – 1 berechnen und diese vergleichen.

Funktionen:

f(x) = \( x^{3} \) - \( x^{2} \)  mit x ∈ ℝ

g(x) = \( x^{2} \) + 4x    mit x ∈ ℝ

h(x) = { -\( x^{2} \) - 4x - 2    für x < -1, x ∈ ℝ

          {0,5x + 1,5       für x ≥ -1, x ∈ ℝ


Wie gebe ich diese Funktionen in die lim Funktion ein bei a und b?

Und wie löse ich Aufgabe c)?

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\( \lim\limits_{x\to x_0} \) \( \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \) 

= \( \lim\limits_{x\to x_0} \) \( \frac{x^{3}-x^{2}-(x_0^{3}-x_0^{2})}{x-x_0} \)

=  \( \lim\limits_{x\to x_0} \) (\( \frac{x^3-x_0^3}{x-x_0} \)-\( \frac{x^2-x_0^2}{x-x_0} \))

Jetzt kannst du nutzen, dass a^3-b^3= (a-b) * (a^2+ab+b^2) ist und a^2-b^2= (a+b)*(a-b)

=  \( \lim\limits_{x\to x_0} \) (\( \frac{(x-x_0)*(x^2+x*x_0+x_0^2)}{x-x_0} \)-

\( \frac{(x-x_0)*(x+x_0)}{x-x_0} \))

Jetzt kannst du kürzen und den Grenzwert berechnen, einfach für x das x_0 einsetzen und kommst auf das selbe Ergebnis wie mit den dir bekannten Anleitungsregeln.

b wurde schon gelöst.

Bei c musst du dir nur angucken, was in diesem Punkt passiert. Wenn du von links an den Punkt läufst, ist der Funktionswert im Grenzwert - (-1)^2-4*(-1)-2. Wenn du dich von rechts auf den Punkt zu bewegst, erhältst du 0,5*(-1)+1,5. Sind die Funktionswert in diesem Punkt gleich?

2 Antworten

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Beste Antwort

Hallo

 du Bildes bei a )( (x0^3-x^3+x0^2-x^2)/(x_0-x) die beiden Ausdrücke lassen sich durch (x0-x) kürzen, der hintere das Binom, der vordere wenn du es nicht kennst Polynomdivision  Ergebnis : x0^2+xx0+x^2

sann hast du  x0^2+xx0+x^2+x0+x und jetzt den lim x->x0 kannst du sicher.

bei b statt x x_0-h einsetzen dann ist das Vorgehen entsprechend. mach mal und sage genau, wo du nicht weiter kommst

du solltest hier h kürzen können,

bei c dann eben beide Funktionen bei x0=-1 auf dieselbe Methode

Gruß lul

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bei c ... auf dieselbe Methode

bei c)  sollen wohl eher die verschiedenen einseitigen GW von h  für x→ -1 bestimmt werden.

daraus  →  h nicht stetig in x0 = -1  →  h nicht  diff'bar  in x0 = -1

Würdest du dich ein wenig mehr von der Aufgabe und weniger durch deine Interpretation des Aufgabenstellers inspirieren lassen, dann könntest du solche Fehler vermeiden.

Bei a) braucht man die x0 methode bei b) die h-methode, jedoch weiß ich nicht genau wie ich das alles einsetzen soll.

Hallo

 bei a) habe ich dir das doch vorgemacht, bei b)  der große Löwe

 jetzt dieselbe Methode bei c für die beiden Teilfunktionen, einmal mit +h einmal mit -h gegen 0

lul

jetzt dieselbe Methode bei c für die beiden Teilfunktionen, einmal mit +h einmal mit -h gegen 0

bei c) macht doch die h-Methode wenig Sinn. Simples Einsetzen von x = -1  bei den Funktionstermen der Teilfunktionen genügt.

vgl. oben meinen Kommentar.

+1 Daumen

Hallo,

Aufgabe b)

.........................B44.png


 

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