Ist das System f(x), g(x), h(x) linear unabhängig

Question

Im Vektorraum C⁰(R) aller stetigen Funktionen ϕ: R → R seien
f(x) = cos(πx) g(x) = sin(πx) h(x) = x³ − x .

Ist das System f(x), g(x), h(x) linear unabhängig in C⁰(R)?

Könntet ihr mir bei der AUfgabe helfen? ich weiß zwar grundsätzlich, wie ich das prüfen soll, aber hier hänge ich

Answer 1

Seien also a,b,c aus R mit a*f(x)+b*g(x)+c*h(x) = 0 für alle x aus R.

Dann gilt insbesondere für x=1        a*(-1) + b*0 + c*0 = 0, also a=0 #

und für x=2        a*1 + b* 0 +c*6 = 0   wegen # also auch c=0  ##

und für x=1/2      a*0 + b*1 + c*(-3/8) = 0   wegen ## also auch b=0.

Somit gilt a*f(x)+b*g(x)+c*h(x) = 0 für alle x aus R.

nur für a=b=c=0 , also lin. unabh.

Comments

Wann wäre das System den nicht linear unabhängig?

Answer 2

Die Funktionen f und g sind beschränkt und unbestimmt divergent für x →∞.

Die Funktion h ist bestimmt divergent für x →∞.