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Ich bräuchte eure Hilfe bei der folgenden Aufgabe


Sei K ein endlicher Körper, M ∈ Matnxn(K). Zeigen Sie: M ist genau dann invertierbar, wenn ein k ∈ ℕ existiert, sodass Mk=In.


Kann mir hier bitte jemand weiterhelfen? Ich habe leider keine Idee und möchte es für meine Klausur am Montag verstehen.

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Was bedeutet Mk=In?

Das sollte eigentlich Mk=In heißen und In ist die nxn Einheitsmatrix

1 Antwort

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Beste Antwort

Hin-richtung: Sei \(M\) invertierbar. Dann ist \(M\in GL_n(K)\), der Gruppe der invertierbaren nxn-Matrizen über \(K\). Da \(K\) endlich ist, ist \(GL_n(K)\) eine endliche Gruppe, damit besitzt jedes seiner Elemente endliche Ordnung (falls das nicht gegeben ist, das ist eine sehr einfache Übung), damit existiert ein k mit \(M^k = 1_n\).

Rückrichtung: Existiere ein k, sodass \(M^k = 1_n\). Dann ist offensichtlich \(M^{k-1}\) die Inverse Matrix zu \(M\).

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Super danke!!!

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