Zeigen sie, dass die gegebenen Vektoren den Gesamten Raum IR^4 aufspannen

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Vektoren {\( \begin{pmatrix} 0\\0\\1\\0 \end{pmatrix} \),\( \begin{pmatrix} 2\\0\\0\\1 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 0\\1\\0\\0 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 2\\1\\0\\1 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1\\1 \end{pmatrix} \)}

Zeigen sie, dass diese Vektoren den gesamten ℝ⁴ aufspannen.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz ist, dass jeder Vektor ja durch eine Linearkombination aus den Vektoren entstehen muss, also:

\( \vec{x} \) = \( \sum\limits_{i=1}^{n}{λ1v1} \)

Dann habe ich das ausgeschrieben und in eine Art LGS umgeschrieben:

\( \vec{x} \) = λ₁\( \begin{pmatrix} 0\\0\\1\\0 \end{pmatrix} \)+λ₂\( \begin{pmatrix} 2\\0\\0\\1 \end{pmatrix} \)+...

in dann halt:

\( \vec{x1} \) = 2λ₂+2λ₄+λ₅

_.

.

.

Nun wäre ja das nächste Schritt, dass ich für die λ's die Gleichungen umstelle allerdings schaffe ich es nicht das umzustellen und dann nach λ1=... λ2=... λ3=... λ4=.. λ5=... umzustellen, sodass dann hinten nur noch sowas wie X1-X2 usw. steht.

Answer 1

Aloha :)

Schreibe die Vektoren als Spalten in eine Matrix und bringe diese durch elementare Spaltenumformungen auf Dreiecksform. Auf dieses Weise werden alle linearen Abhängigkeiten der Vektoren untereinander herausgerechnet. Nur die von Null verschiedenen Spalten sind relevant für für die Dimension des aufgespannten Raumes. Ich wähle eine etwas andere Reihenfolge der Spaltenvektoren in der Matrix, die näher an der Dreiecksform liegt.

$$\left(\begin{array}{c} -S_2-S_3& & -2S_1 & & -2S_1\\1 & 0 & 0 & 2 & 2\\1 & 1 & 0 & 0 & 1\\1 & 0 & 1 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 1 & 1\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{c} & & & +2S_2+2S_3&+S_2+2S_3\\1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & -2 & -1\\0 & 0 & 1 & -2 & -2\\1 & 0 & 0 & -1 & -1\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{c}+S_4 & & &\cdot(-1) &-S_4\\1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & -1 & -1\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right)$$Wir erhalten 4 linear unabhängige Basisvektoren, die Dimension des aufgepannten Raumes ist \(4\).