Zeigen Sie, dass die Abbildung IR^n×n→IR^n×n, A↦1/2(A+A^tr) eine Projektion ist.

Question

Zeigen Sie, dass die Abbildung \(\mathbb R^{n\times n}\to\mathbb R^{n\times n}\,,\,A\mapsto\frac12\left(A+A^T\right)\) eine Projektion ist. Beschreiben Sie Kern und Bild dieser Abbildung.

Anmerkung: Wir sehen also, dass jeder Vektorraumhomomorphismus φ:V→V mit φ∘φ=φ eine Projektion ist.

Diese Frage kann ich nicht lösen. Könnt ihr mir damit helfen?

Answer 1

Wenn \(\varphi:\;\mathbb{R}^{n\times n}\rightarrow \mathbb{R}^{n\times n}\), durch

\(\varphi(A)=\frac{1}{2}(A+A^T)\) definiert ist, zeige, dass \(\varphi\circ\varphi=\varphi\) ist.

Ferner zeige, dass \(\varphi\) linear ist.