Betrachten Sie den Unterraum U des ℝ5. Finden Sie zwei Vektoren, die U aufspannen.

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie den Unterraum
U = {(x₁,...,x₅) ∈ ℝ⁵ | Mit
x₁ +3x₂ +x₄ −2x₅ = 0
x₄ −x₅ = 0
x₂ −x₃ +x₄ −x₅ = 0}

des ℝ⁵. Finden Sie zwei Vektoren, die U aufspannen.

Problem/Ansatz:

Wie findet man solche Vektoren? Ich habe versucht das Gleichungssystem zu lösen und bin auf das Ergebnis
x₁ = -2x₅
x₂ = x₃
x₃ = x₃
x₄ = x₅
x₅ = x₅

gekommen. Soll man anhand dieser Ergebnisse einen Vektor konstruieren? Oder wie genau geht man hier heran?

Answer 1

Du hast bereits berechnet, dass \(x_3=x_2\) und \(x_5=x_4\) ist.
Setze diese Werte in die erste Gleichung ein und erhalte \(x_4=x_1+3x_2\).
Ein Lösungsvektor \(v\in\mathbb R^5\) ist damit von der Gestalt$$v=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_2\\x_1+3x_2\\x_1+3x_2\end{pmatrix}=x_1\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\\1\end{pmatrix}+x_2\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\1\\3\\3\end{pmatrix}.$$An dieser Darstellung sind zwei Vektoren, die \(U\) aufspannen, direkt ablesbar.

Comments

Die zwei Vektoren die U aufspannen sind also v_1 = (1 0 0 1 1) und v_2 = ( 0 1 1 3 3), denn, wenn man z.B bei v_1 für x_1=1, für x_2=0, für x_3 = 0, usw in das LGS einsetzt man am auf der anderen Seite der Gleichung wieder 0 rausbekommt richtig?

---

Nicht ganz. \(x_1\) und \(x_2\) sind hier frei wählbar; \(x_3\), \(x_4\) und \(x_5\) stehen dann fest.
Die Basisvektoren sind nicht eindeutig bestimmt. Aber jeder Lösungsvektor \(v\) lässt sich als Linearkombination von \(v_1\) und \(v_2\) darstellen. Damit spannen die beiden Vektoren den Unterraum auf.

---

Könntest du vielleicht einen Lösungsvektor nennen, damit ich es zu 100% richtig verstehe?

---

Mit \(x_1=1\) und \(x_2=0\) ist \((1\ 0\ 0\ 1\ 1)^\top\) ein Lösungsvektor.
Mit \(x_1=0\) und \(x_2=1\) ist \((0\ 1\ 1\ 3\ 3)^\top\) ein Lösungsvektor.
Mit \(x_1=1\) und \(x_2=1\) ist \((1\ 1\ 1\ 4\ 4)^\top\) ein Lösungsvektor.
Allgemein ist jeder Vektor \(x_1\cdot v_1+x_2\cdot v_2\) mit \(x_1,x_2\in\mathbb R\) ein Lösungsvektor.

---

Ok, habs verstanden. Dankeschön!