Monotonie von ganzrationalen Funktionen 3. Grades

Question

Aufgabe:

Bestimmen SIe die Intervalle, in denen die ganzrationale Funktion $$y=x^3+px$$ streng monoton wachsend ist.

Streng monoton wachsend bedeutet, dass aus $$x_1<x_2$$ $$f(x_1)<f(x_2)$$ folgt.

Ansatz:

Man müsste also aus $$x_1<x_2$$ folgen, dass $$x_1^3+px_1<x_2^3+px_2$$ ist.

Ich habe schon verschiedene Ansätze probiert, aber kein Ansatz führte zum Erfolg.

Das Ergebnis müsste $$|x|>\sqrt{-\frac{p}{3}}\quad,\quad p<0$$ sein.

Answer 1

f(x) = x³ + p·x

f'(x) = 3·x² + p ≥ 0

Das ist eine rein-quadratische Ungleichung, die man direkt nach x auflösen klann:

3·x² ≥ -p
x² ≥ -p/3 --> x ≤ -√(-p/3) ∨ x ≥ √(-p/3)

Comments

Könnte man das auch ohne Ableitung beweisen?

Aus der Bedingung $$x_1<x_2$$ müsste dann $$f(x_1)<f(x_2)$$ folgen.

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Dann würdest du den Differenzenquotienten bilden wobei du dann noch x2 gegen x1 laufen lassen musst und dann hast du den Differentialquotienten und das ist ja sowas wie die erste Ableitung.

Du kannst also zunächst die Ableitung mit einer Methode deiner Wahl bilden, wenn ihr die Ableitungsregeln noch nicht kennt.

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Z.B. gilt für h → 0+

f(x + h) - f(x) > 0

((x + h)³ + p·(x + h)) - (x³ + p·x) > 0

(x³ + 3·h·x² + 3·h²·x + h³ + p·x + p·h) - (x³ + p·x) > 0

(x³ + 3·h·x² + 3·h²·x + h³ + p·x + p·h) - (x³ + p·x) > 0

3·h·x² + 3·h²·x + h³ + h·p > 0

h·(3·x² + 3·h·x + h² + p) > 0

Daraus kannst du ebenso ableiten das 3·x² + p > 0 gelten muss.

Answer 2

Es gelte $u<v$. Dann ist $f(u)<f(v)$ genau dann, wenn gilt$$0>(u^3+pu)-(v^3+pv)$$$$0>(u^3-v^3)+(pu-pv)$$$$0>(u-v)(u^2+uv+v^2)+p(u-v)$$$$0>(u-v)(u^2+uv+v^2+p).$$Da die erste Klammer immer negativ ist, muss die zweite positiv sein, d.h.$$u^2+uv+v^2+p>0.$$Schließe daraus, dass $3u^2+p>0$ gelten muss.

Comments

Ich kann deinem letzten Satz leider nicht folgen.

Wie kannst du daraus schließen, dass $$3u^2+p>0$$ gelten muss?

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Wenn v gegen u strebt gilt für den Grenzfall, dass v gleich u ist.

lim (v → u) u² + uv + v² + p = u² + uu + u² + p = 3u² + p

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Vielen Dank!

Jetzt habe ich es verstanden!