B) Mit Teil a) i) erhalten wir (wir suchen hier eine obere Schranke für beliebige Ableitungsordnungen; nehmen also für die einzelnen Anteile von allen vier Ableitungsformeln das größte.)
∣∣∣fn+1(x)∣∣∣≤4⋅4(n+1)/4⋅ex
Damit folgt für das Restglied
n→∞lim∣Rn,f(x,0)∣≤n→∞lim(n+1)!4⋅4(n+1)/4⋅xn+1⋅ex=0
Das zeigt, dass f durch seine Talyorreihe (in a) berechnet) dargestellt werden kann.
ii) Wir nutzen die komplexe Exponentialfunktion und deren Zusammenhang mit cos. Es gilt excos(x)=Re(exeix)=Re(e(i+1)x) und mit der Reihendarstellung der Exp-Funktion (s. Vorlesung)
e(i+1)x=k=0∑∞k!(i+1)kxk
Daher gilt
excos(x)=Re(e(i+1)x)=k=0∑∞Re((i+1)k)k!xk
Nun gilt i+1=2ei4x und, dank der Formel von Moivre, somit (i+1)k=2ekei4πk. Für den Realteil gilt Re((i+1)k)=2kcos(41kπ). Somit ist die Taylorreihe an dem Entwicklungspunkt x0=0 gegeben durch
excos(x)=k=0∑∞k!2kcos(41kπ)xk
Das f durch die Taylorreihe dargestellt wird, folgt bei dieser Variante direkt, da wir 'nur' eine Umformung der Reihendarstellung der Exp-Funktion vornehmen.
Warum gilt hier der erste Satz? ∣∣∣fn+1(x)∣∣∣≤4⋅4(n+1)/4⋅ex
Danke @Helmus