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Gegeben sei die Funktion f : RR,f(x)=cos(x)ex f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\cos (x) \cdot e^{x}
a) Bestimmen Sie die Taylorreihe von f f um den Entwicklungspunkt x0=0 x_{0}=0
b) Wird die Funktion durch ihre Taylorreihe dargestellt?

 Was bedeutet teil b und wie kann man das berechnen?

Bitte ausführlich erklären.

Danke

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B) Mit Teil a) i) erhalten wir (wir suchen hier eine obere Schranke für beliebige Ableitungsordnungen; nehmen also für die einzelnen Anteile von allen vier Ableitungsformeln das größte.)

fn+1(x)44(n+1)/4ex \left|f^{n+1}(x)\right| \leq 4 \cdot 4^{(n+1) / 4} \cdot e^{x}
Damit folgt für das Restglied 
limnRn,f(x,0)limn44(n+1)/4xn+1ex(n+1)!=0 \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left|R_{n, f}(x, 0)\right| \leq \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{4 \cdot 4^{(n+1) / 4} \cdot x^{n+1} \cdot e^{x}}{(n+1) !}=0
Das zeigt, dass f f durch seine Talyorreihe (in a) berechnet) dargestellt werden kann.
ii) Wir nutzen die komplexe Exponentialfunktion und deren Zusammenhang mit cos. Es gilt excos(x)=Re(exeix)=Re(e(i+1)x) e^{x} \cos (x)=\operatorname{Re}\left(e^{x} e^{i x}\right)=\operatorname{Re}\left(e^{(i+1) x}\right) und mit der Reihendarstellung der Exp-Funktion (s. Vorlesung)
e(i+1)x=k=0(i+1)kk!xk e^{(i+1) x}=\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(i+1)^{k}}{k !} x^{k}
Daher gilt
excos(x)=Re(e(i+1)x)=k=0Re((i+1)k)xkk! e^{x} \cos (x)=\operatorname{Re}\left(e^{(i+1) x}\right)=\sum \limits_{k=0}^{\infty} \operatorname{Re}\left((i+1)^{k}\right) \frac{x^{k}}{k !}
Nun gilt i+1=2eix4 i+1=\sqrt{2} e^{i \frac{x}{4}} und, dank der Formel von Moivre, somit (i+1)k=2ekeiπ4k. (i+1)^{k}=\sqrt{2} e^{k} e^{i \frac{\pi}{4} k} . Für den Realteil gilt Re((i+1)k)=2kcos(14kπ). \operatorname{Re}\left((i+1)^{k}\right)=\sqrt{2}^{k} \cos \left(\frac{1}{4} k \pi\right) . Somit ist die Taylorreihe an dem Entwicklungspunkt x0=0 x_{0}=0 gegeben durch
excos(x)=k=02kcos(14kπ)k!xk e^{x} \cos (x)=\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{\sqrt{2}^{k} \cos \left(\frac{1}{4} k \pi\right)}{k !} x^{k}
Das f f durch die Taylorreihe dargestellt wird, folgt bei dieser Variante direkt, da wir 'nur' eine Umformung der Reihendarstellung der Exp-Funktion vornehmen.

Warum gilt hier der erste Satz? fn+1(x)44(n+1)/4ex \left|f^{n+1}(x)\right| \leq 4 \cdot 4^{(n+1) / 4} \cdot e^{x}

Danke @Helmus

2 Antworten

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Hallo,

y=cos(x)ex ;x0=0 y=\cos (x) \cdot e^{x} \ ;x_{0}=0

y=ex(cos(x)sin(x) y^{\prime}=e^{x}(\cos (x)-\sin (x) )
y=2exsin(x) y^{\prime \prime}=-2 e^{x} \sin (x)
y=2ex(sin(x)+cos(x) y^{\prime \prime \prime}=-2 \cdot e^{x}(\sin (x)+\cos (x) )
y(0)=y(0)=1 y(0)=y^{\prime}(0)=1
y(0)=0 y^{\prime \prime}(0)=0
y(0)=2 y^{\prime \prime \prime}(0)=-2
allgemein:
f(x)=f(x0)+f(x)(xx0)+f(x0)2!(xx0)2 f(x)=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}(x)\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2 !}\left(x-x_{0}\right)^{2}
+f3!(xx0)3++ \quad+\frac{f^{\prime \prime \prime}}{3 !}\left(x-x_{0}\right)^{3}+\ldots+
f(x)=1+1(x0)+02!(x0)2+23(1x)2 f(x)=1+1(x-0)+\frac{0}{2 !}(x-0)^{2}+\frac{-2}{3(1-x)^{2}}
f(x)=1+xx33++ f(x)=1+x-\frac{x^{3}}{3}+\ldots+



 

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Hallo,

zu b): zeige, dass die Reihe für alle x ∈ℝ konvergiert. Dann stellt die Reihe die Funktion komplett dar.

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