Totales Differential, Frage zu Differential

Question

Ich habe ein nicht lineares Gleichungssystem gegeben, wobei y,x,z endogene Variablen sind, v,w,l exogen und r const.

Wenn die partiellen Ableitungen von den Variablen x₁, ..., x_n abhängen, werden sie mit deren Werten vor den Änderungen x₁₀, ..., x_n0 berechnet.

Jetzt habe ich in der 1. Gleichung folgendes:

$$y = f(y,r) + v + h (y,\frac{z}{x})$$

Als Lösung gibt es:

$$ dy=f_ydy+f_rdr+dv+h_ydy+h_\frac{z}{x}\left[\frac{1}{x_0}dz-\frac{z_0}{x_0^2}dx\right]  $$

$$ wobei \text{ } f_y = \frac{∂f}{∂y} \text{ } etc. $$

Ich verstehe jetzt allerdings nicht, wie man auf das Differential

$$\left[\frac{1}{x_0}dz-\frac{z_0}{x_0^2}dx\right]$$

kommt.

Answer 1

Aloha :)

Das totale Differential kannst du mit der Summenregel aufteilen:$$dy=df(y,r)+dv+dh\left(y,\frac{z}{x}\right)$$Zur Veranschaulichung berechnen wir \(df\) und \(dh\) ausführlich:$$df(y,r)=\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial r}dr$$$$dh\left(y,\frac{z}{x}\right)=\frac{\partial h}{\partial y}dy+\frac{\partial h}{\partial\left(\frac{z}{x}\right)}d\left(\frac{z}{x}\right)=\frac{\partial h}{\partial y}dy+\frac{\partial h}{\partial\left(\frac{z}{x}\right)}\left(-\frac{z}{x^2}dx+\frac{1}{x}dz\right)$$Jetzt haben wir alles zusammen, was wir brauchen:$$dy=\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial r}dr+dv+\frac{\partial h}{\partial y}dy+\frac{\partial h}{\partial\left(\frac{z}{x}\right)}\left(\frac{1}{x}dz-\frac{z}{x^2}dx\right)$$