Extremwertaufgabe-Optimierungsprobleme

Question

Aufgabe:

Hallo, ich habe Probleme diese Aufgabe zu lösen.

Die Berandung des Werkstücks wird durch die Funktion f mit f(x)=-0,25x²+4 beschrieben. Aus dem Werkstück soll eine möglichst große rechteckige Platte ausgeschnitten werden.

a) Welches Rechteck hat den größtmöglichen Flächeninhalt?

b) Hat dieses Rechteck auch den größtmöglichen Umfang? Begründen Sie.

Problem/Ansatz:

Ich bin mit der Differenzialrechnung vertraut, habe jedoch keine Ahnung, wie diese Aufgabe gelöst wird. Es wäre gut, wenn jemand einen Ansatz zur Lösung für mich hätte oder das Vorgehen bei dieser Rechnung erklären kann.

Dankeschön

Answer 1

Die Zielfunktion ist Fläche = Länge * Breite = 2x * y

= 2x * (-0,25x²+4)

= -0,5x³ + 8x            zu maximieren

Answer 2

Rechteck
( es braucht nur 1 Hälfte des Rechtecks berechnet werden )
A ( x ) = x * f ( x )
A ( x ) = x * ( -0.25*x^2 + 4 )
A ( x ) = -0.25*x^3 + 4x
1,Ableitung
A ´( x ) = -0.75 * x^2 + 4
Hoch, Tief oder Sattelpunkt
-0.75 * x^2 + 4 = 0
-0.75 * x^2 = -4
x^2 = 16 / 3

x = + 2.31
und
x = - 2.31

2.Ableitung
A ´( x ) = -1.5 * x
einsetzen
A ´( 2.31 ) = -1.5 * 2.31 (rechtsgekrümmt - Hochpunkt )