Matrixexponential berechnen, wenn es nur einen EW gibt

Question

Die Matrix

A =

3	-1
1	1

besitzt den EW 2 mit algebraischer Vielfachheit 2. Wie lautet der Ansatz, um e^(tA) zu berechnen?

P.S.: Ich kenne die Definition, aber die bringt mich hier nicht weiter.

Comments

Tipp: A-2E ist nilpotent, also ist e^A-2E = (A-2E)⁰ + (A-2E)¹ = A-E.

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Danke, aber ich weiß damit leider nichts anzufangen. Ich habe irgendwo eine Art Formel gesehen, in der kam

λt	λ
0	λt

vor. Gibt es eine solche Formel?

Answer 1

Aloha :)

Den Eigenwert $\lambda$ bestimmst du durch Lösen der charakteristischen Gleichung:$$\text{det}(A-\lambda E)=0$$Hier ist der Eigenwert $\lambda=2$ bekannt, sodass $\text{det}(A-2 E)=0$ ist. Daher gilt:$$(A-2E)^0=E\quad;\quad(A-2E)^1=A-2E\quad;\quad(A-2E)^n=0\;\;\text{für}\;\;n\ge2$$$$e^{A-2E}=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}(A-2\cdot E)^n=E+(A-2E)=A-E$$Da die Einheitsmatrix $E$ mit jeder gleich großen quadratischen Matrix $A$ vertauscht, d.h. $AE=EA$, gilt weiter:$$e^A=e^{A-2E+2E}=e^{A-2E}\cdot e^{2E}=(A-E)\cdot e^{2E}=(A-E)\cdot e^E\cdot e^E$$Es fehlt noch das Matrixexponenital der Einheitsmatrix:$$e^{E}=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}E^n=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}\left(\begin{array}{c}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}\left(\begin{array}{c}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right)=e\,\left(\begin{array}{c}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right)=e\,E$$Jetzt haben wir alles:$$e^A=(A-E)\cdot e\,E\cdot e\,E=e^2(A-E)=e^2\left[\left(\begin{array}{c}3 & -1\\1 & 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right)\right]$$$$\phantom{e^A}=e^2\left(\begin{array}{c}2 & -1\\1 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2e^2 & -e^2\\e^2 & 0\end{array}\right)$$

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Mega lieb von dir, ein großes Dankeschön an dich!!!!!!! ♡

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Habe jetzt doch noch einmal eine Frage: Auf Wikipedia steht, das Matrixexponential wäre

e^(2t)*

1+t	-1
t	1-t

Ich bin verwirrt