Richtungsableitung: muss man durch den Betrag des Richtungsvektors teilen oder nicht?

Question

Ich bin bereits mehreren Aufgaben über den Weg gelaufen, in denen die Richtungsableitung eines Punktes in eine bestimmte Richtung berechnet wird. Manchmal wird dabei das Skalarprodukt, das man dafür verwendet, am Ende noch durch den Betrag des Richtungsvektors geteilt und manchmal nicht.

Gibt es eine Regel, wann man was macht?

Answer 1

Aloha :)

Ein Vektor \(\vec v\) hat eine Länge und eine Richtung. Will man nur die Richtung betrachten, muss man sich auf eine Länge einigen. Bei der "Richtungsableitung" sind daher streng genommen nur Einheitsvektoren \(\vec v\) zulässig. In manchen Büchern oder Vorlesungen wird die Einschränkung auf Einheitsvektoren nicht gemacht. Das führt dann gelegentlich zu Problemen. Ist \(|\vec v|\ne1\), weiß man bei der Richtungsableitung \(D_{\vec v}(f)\) nicht, ob ihr Betrag aus der Stärke des Gradienten oder aus der Länge des Vektors \(\vec v\) herrührt.

$$D_{\vec v}(f) = \text{grad} \, f(\vec x) \cdot \vec v$$

Diese Unkenntnis führt dann manchmal zu lustigen Fehlinterpretationen der Ergebnisse ;)

Answer 2

Hallo,

das ist eine Frage der Definition, Du  solltest Dich an die Definition in Eurer Vorlesung halten.

Das hängt damit zusammen, dass eine "Richtung" im engeren Sinn durch einen Einheitsvektor definiert ist. Lässt man bei der Definition der Richtungsableitung beliebige Vektoren v für die Richtungsangabe zu, dann hängt der Wert dieser Ableitung nicht nur von der Richtung ab sondern auch von der Länge von v. Für manche Zwecke passt das nicht, zum Beispiel, wenn man die Richtung bestimmen will, in der eine Funktion am stärksten steigt.

Comments

Okay, das verstehe ich, danke! Habe nirgends eine Erklärung gefunden, bis ich hierher kam :D

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Bist du eigentlich der Mathepeter? Der Mathe-YouTuber? Falls ja: Deine Videos sind echt spitze! Und: Hast du schon etwas zu Parametrisierungen gemacht?