Funktionenschar - HP und Schnittstelle

Question

Gegeben ist die Funktionenschar \( \mathrm{f}_{\mathrm{a}} \) mit \( f_{a}(x)=2 a^{2} \cdot x \cdot e^{-0,5 a x}(a>0) . \) Der Graph von \( f_{1} \)
und der Graph von \( \mathrm{f}_{1}^{\prime} \) sind in Fig. 1 dargestellt.

a) Begründen Sie, warum der Graph A aus Fig. 1 zur Funktion \( f_{1} \) und der Graph B zur Ableitungsfunktion \( \mathrm{f}_{1}^{\prime} \) gehört.

b) Berechnen Sie den Hochpunkt des Graphen von f in Abhängigkeit von a.

c) Berechnen Sie die Schnittpunkte der Graphen fa und f'a. Für welchen Wert von a schneiden sich die Graphen bei x = 0,5?

d) Die Punkte P (t | f₂(t)) und Q (t | f'₂(t)) verbinden für t > 0,5 eine Strecke, die parallel zur x-Achse verläuft. Berechnen Sie, für welchen Wert von t die Strecke am größten ist.

Problem/Ansatz:

fa(x) = 2a^2 * x * e^-0,5ax

f'a(x) = 2a^2 * e^-0,5ax + 2a^2x * e^-0,5ax (-0,5a) = e^-0,5a (2a^2 + (-1a^3x)

Zu b) Ich brauche eigentlich nur Hilfe bei der zweiten Ableitung. Hatte gedacht dass es f''a(x) = 2a^2 * e^-0,5ax + 2a^2 * e^-0,5ax (-0,5a) = e^-0,5ax (2a^2 + (- a^3) wäre, aber ich muss nachweisen dass es einen Hochpunkt gibt und das klappt irgendwie nicht. Ich habe auch bereits berechnen dass der HP bei x= 2/a und y= 4ae^-1 liegt, muss jetzt eben nur noch beweisen das es überhaupt einen HP gibt.

c) Hier habe ich beide Graphen gleichgesetzt, also:

2a^2*x*e^-0,5a = e^-0,5a (2a^2+(-1a^3)

Ich weiß aber jetzt nicht wie ich das nach x umstellen soll.

d) Die Aufgabe versteh ich gar nicht. Was muss man da machen?

Answer 1

Aloha :)

Wir benötigen die ersten beiden Ableitungen von \(f_a(x)\):$$f_a(x)=2a^2x\,e^{-0,5ax}\;\;;\;\;a>0$$$$f'_a(x)=2a^2e^{-0,5ax}+2a^2x\cdot\left(-\frac{1}{2}ae^{-0,5ax}\right)=2a^2e^{-0,5ax}-a^3xe^{-0,5ax}$$$$\phantom{f'_a(x)}=\left(2a^2-a^3x\right)e^{-0,5ax}$$$$f''_a(x)=-a^3e^{-0,5ax}+(2a^2-a^3x)\cdot\left(-\frac{1}{2}ae^{-0,5ax}\right)$$$$\phantom{f''_a(x)}=-a^3e^{-0,5ax}-\left(a^3-\frac{a^4}{2}x\right)e^{-0,5ax}=-\left(2a^3-\frac{a^4}{2}x\right)e^{-0,5ax}$$

b) Extremum bestimmen:$$0\stackrel{!}{=}f'_a(x)=(2a^2-a^3x)e^{-0,5ax}\;\;\Leftrightarrow\;\;2a^2-a^3x=0\;\;\Leftrightarrow\;\;\underline{x=\frac{2}{a}}$$$$f''_a\left(\frac{2}{a}\right)=-\left(2a^3-\frac{a^4}{2}\cdot\frac{2}{a}\right)e^{-0,5a\cdot\frac{2}{a}}=-(2a^3-a^3)e^{-1}=-a^3e^{-1}<0$$Bei \(x=\frac{2}{a}\) hat die Funktionenschar \(f_a(x)\) ein Maximum.

c) Schnittpunkt von Funktion und Ableitung:$$\left.(2a^2-a^3x)e^{-0,5ax}=2a^2x\,e^{-0,5ax}\quad\right|\;:e^{-0,5ax}$$$$\left.2a^2-a^3x=2a^2x\quad\right|\;:a^2$$$$\left.2-ax=2x\quad\right|\;+ax$$$$\left.2=2x+ax=x(2+a)\quad\right|\;:(2+a)$$$$\underline{x=\frac{2}{2+a}}$$Der Schnittpunkt liegt bei \(x=\frac{1}{2}\), falls für \(a\) gilt:$$\left.\frac{1}{2}=\frac{2}{2+a}\quad\right|\;\text{Kehrwert}$$$$\left.2=\frac{2+a}{2}\quad\right|\;\cdot2$$$$\left.4=2+a\quad\right|\;-2$$$$\underline{a=2}$$

d) Wert von t für größte Strecke bestimmen:

Der Abstand \(d(t)\) der Punkte \(P(t|f_2(t)\) und \(Q(t|f'_2(t))\) ist gleich der Differenz der \(y\)-Werte, weil die \(x\)-Werte beide gleich \(t\) sind:$$d(t)=\left|f_2(t)-f'_2(t)\right|=\left|2\cdot2^2\cdot t\,e^{-0,5\cdot2t}-\left(2\cdot2^2-2^3\,t\right)e^{-0,5\cdot2t}\right|$$$$\phantom{d(t)}=\left|8t-\left(8-8t\right)\right|\,e^{-t}=|16t-8|\,e^{-t}=(16t-8)\,e^{-t}$$Die Betragsstriche fallen weg, da nach Aufgabenstellung \(t>\frac{1}{2}\) ist. Das Maximum finden wir durch ableiten:$$0\stackrel{!}{=}d'(t)=16\,e^{-t}-(16t-8)e^{-t}=(16-16t+8)e^{-t}=(24-16t)e^{-t}$$Das Maximum liegt daher bei \(\underline{t=\frac{3}{2}}\).

Comments

Vielen Dank! :)

Ich hätt’ da noch eine Frage zur zweiten Ableitung. Wieso fällt 2a^2 weg? Bei der ersten Ableitung bleibt das ja auch, das verwirrt mich ein bisschen

---

Bei der ersten Ableitung wurde die Produktregel verwendet:$$\underbrace{2a^2x}_{=u}\cdot\underbrace{e^{-0,5ax}}_{=v}$$Beim Ableiten von \(u\) bleibt das \(2a^2\) erhalten, denn \(u'(x)=2a^2\).Bei der zweiten Ableitung wurde auch die Produktregel verwendet:$$\underbrace{(2a^2-a^3x)}_{=u}\cdot\underbrace{e^{-0,5ax}}_{=v}$$Hier fällt das \(2a^2\) beim Ableiten von \(u\) weg, denn \(u'(x)=-a^3\).

---

Hallo, ich misch mich mal ein :)

bei b) wie stellt man 2a²-a³x = 0 nach x um?

(Hab verstanden, hatte einen Denkfehler)

Kommentar ignorieren