Reelles Fundamentalsystem bestimmen

Question

Hallo an alle! Die Aufgabe lautet: Bestimmen Sie ein reelles Fundamentalsystem von Lösungen der Differentialgleichung $y' = Ay$, wobei

A=

0	-1	0
1	0	0
0	0	4

.

Ich brauche eigentlich nur Hilfe beim Aufschreiben des Endergebnis; denn ich habe bereits die Eigenwerte samt Eigenvektoren ermittelt:

$\lambda_{1} = 4, v_{1}=(0,0,1)^T$

$\lambda_{2} = i, v_{2} = (i, 1, 0)^T$

$\lambda_{3} = -i, v_{2} = (-i, 1, 0)^T$.

Damit ist also y1 = e^(4x)(0,0,1)^T. Aber wie war das noch mal gleich mit komplexen Eigenwerten? y2 und y3 sind dann irgendwas mit cosinus und sinus, aber wie lautete noch mal die Formel? Kann mir bitte jemand sagen, wie man jetzt auf y2 und y3 kommt?

Answer 1

Aloha :)

Du suchst Lösungen der Gleichung $\vec y\,'(x)=A\cdot\vec y(x)$. Wenn du einen Eigenwert $\lambda$ und den dazugehörigen Eigenvektor $\vec v$ kennst, hast du mit $\vec y=\vec v\cdot e^{\lambda\cdot x}$ eine passende Lösung gefunden, denn Ableiten ergibt:$$\vec y\,'(x)=\lambda\cdot\vec v\cdot e^{\lambda\cdot x}$$und weil $\vec A\cdot\vec v=\lambda\cdot\vec v$ gilt auch:$$A\cdot\vec y(x)=A\cdot\vec v\cdot e^{\lambda\cdot x}=\lambda\cdot\vec v\cdot e^{\lambda\cdot x}$$In deinem Fall kannst du alle 3 Eigenwerte und Eigenvektoren zu einer Lösung linear kombinieren:$$\vec y(x)=A_1\cdot\lambda_1\,e^{\lambda_1\,x}\vec v_1+A_2\cdot\lambda_2\,e^{\lambda_2\,x}\vec v_2+A_3\cdot\lambda_3\,e^{\lambda_3\,x}\vec v_3$$$$\phantom{y(x)}=A_1\cdot4\,e^{4x}\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)+A_2\cdot i\,e^{ix}\left(\begin{array}{c}i\\1\\0\end{array}\right)-A_3\cdot i\,e^{-ix}\left(\begin{array}{c}-i\\1\\0\end{array}\right)$$Der Trick für das Ermitteln der reellen Lösungen liegt darin, dass die Koeffizienten $A_i\in\mathbb{C}$ gewählt werden können. Man schafft sich die imaginäre Einheit "vom Hals", indem man fordert, dass $A_3=A_2^\ast$ ist. Setzen wir$$A_2=a+ib\quad;\quad A_3=a-ib\quad;\quad a,b\in\mathbb{R}$$wird die erste Komponente zu:$$y_1(x)=A_2i^2e^{ix}+A_3i^2e^{-ix}=-\left(A_2e^{ix}+A_3e^{-ix}\right)$$$$\phantom{y_1(x)}=-\left((A_2+A_3)\cos x+i(A_2-A_3)\sin x\right)=\left(2a\cos x+i\,2ib\sin x\right)$$$$\phantom{y_1(x)}=-2a\cos x-2b\sin x$$und die zweite Komponente wird zu:$$y_2(x)=A_2\,i\,e^{ix}-A_3\,i\,e^{-ix}=i\left(A_2e^{ix}-A_3e^{-ix}\right)$$$$\phantom{y_2(x)}=i\left((A_2-A_3)\cos x+i(A_2+A_3)\sin x\right)=i\left(2ib\,\cos x+i\,2a\sin x\right)$$$$\phantom{y_2(x)}=-2b\cos x-2a\sin x$$Damit haben wir alles Imaginäre aus der Lösung entfernt:$$\vec y(x)=4A_1\left(\begin{array}{c}0\\0\\e^{4x}\end{array}\right)-2a\left(\begin{array}{c}\cos x\\\sin x\\0\end{array}\right)-2b\left(\begin{array}{c}\sin x\\\cos x\\0\end{array}\right)$$Da $A_1,a,b$ beliebig gewählt werden können, können wir die Linearkombination auch mit anderen Konstanten schreiben:$$\vec y(x)=c_1\left(\begin{array}{c}0\\0\\e^{4x}\end{array}\right)+c_2\left(\begin{array}{c}\cos x\\\sin x\\0\end{array}\right)+c_3\left(\begin{array}{c}\sin x\\\cos x\\0\end{array}\right)\quad;\quad c_1,c_2,c_3\in\mathbb{R}$$Die Vektoren sind das gesuchte Fundamentalsystem.

Comments

Wow! Vielen Dank!!!!! <3333 Du hast hast echt drauf!!! Aber muss man wirklich jedes Mal diese ganzen Rechnungen durchführen? Denn diese Aufgabe gibt eigentlich kaum Punkte

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Danke für das Lob, das motiviert ;)

Du musst die ausführliche Rechnung nicht immer machen, wenn du den Trick mit den komplex konjugierten Koeffizienten kennst. Du kannst das dann direkt verwenden.

Ich habe das nur sehr ausführlich aufgeschrieben, damit es nicht vom Himmel fällt und gut zu verstehen ist.

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ach soo, auf jeden Fall: DANKE ♡♡♡♡

Answer 2

Hallo,

mittels Eulerscher Formel:

e^(ix)=cos(x) + i sin(x)

FS =( cos(x) -sin(x)

          sin(x) +cos(x)

          e^(4x)                       )

Comments

Also ist dann

$y_{2} = e^{ix} (i, 1, 0)^{T} = (cos(x) + isin(x))(i, 1, 0)^{T}$ ?

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Oder so?

$y_{2} = cos(x)(0,1,0)^T + sin(x)(1,0,0)^T$

$y_{3} = cos(x)(0,1,0)^T - sin(x)(1,0,0)^T$

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Schau zu Tschaka und gibt ihm 14 Punkte...