Vielfachheit der nullstellen bestimmen

Question

Aufgabe:

Zerlege die ganzrationale Funktion f(x)=x³-6x²+9x zunächt in Linearfaktoren, anschließend gebe die vielfachheit der Nullstellen an.

Problem/Ansatz:

Ich habe 3 in die Funktion eingesetzten damit 0 rauskommt :  f(3)=3²-6*3²+9*3=0

Als nächstes hab ich beide Polynome dividiert (x³-6x²+9x)÷(x-3)= x²-3x

Dann hab ich die Mitternachtsformel an x²-3x angewendet und habe x1 = -3 und x2 = 0 heraus bekommen

Nullstellen sind also 3, -3 und 0; das sind doch einfache Nullstellen in der Lösung wurde zumal ein anderer Rechenweg hergenommen und hat x1;2= 3 als doppelte Nullstelle und x3=0 als einfache Nullstelle.

Was habe ich falsch gemacht?

Und was hat es mit dem Vorzeichenwechsel auf sich (ich weiß dass es das gibt wenn die Vielfachheit ungerade ist), also was bedeutet das genau ?

LG

Comments

Dann hab ich die Mitternachtsformel an x²-3x angewendet und habe x1 = -3 und x2 = 0 heraus bekomme

-3 ist aber gar keine Lösung von x²-3x=0

Probe: (-3)³-3*(-3)=18.

Merkst du jetzt deinen Fehler?

Mitternachtsformel ist hier übrigens relativ sinnlos. x²-3x=0 kannst du schreiben als x(x-3)=0 ...

Answer 1

Aloha :)

Ich würde die 2-te binomische Formel anwenden:$$f(x)=x^3-6x^2+9x=x(x^2-6x+9)=x(x-3)^2$$Einfache Nullstelle bei \(x=0\), doppelte Nullstelle bei \(x=3\).