Wie berechne ich eine Grenzmatrix?

Question

Aufgabe:

ich weiß leider nicht, wie ich die Aufgabe d) berechnen kann, da ich noch nicht weiß, wie man eine Grenzmatrix berechnet, weshalb ich mich über einen erklärten Rechenweg freuen würde.

1 Ein stochastischer Prozess hat die Übergangsmatrix \( U=\left(\begin{array}{lll}0,5 & 0 & 0 \\ 0,4 & 0,5 & 0 \\ 0,1 & 0,5 & 1\end{array}\right) \).

a) Zeichnen Sie ein Prozessdiagramm mit den Zuständen \( Z_{1}, Z_{2}, Z_{3} \).

b) Sie befinden sich anfangs in Zustand \( Z_{1} \). Berechnen Sie einige Folgeverteilungen und untersuchen Sie, ob sich die Folgeverteilungen stabilisieren. Bestimmen Sie die Grenzverteilung \( \overrightarrow{\mathrm{g}} \). Überprüfen Sie die Beziehung \( \mathrm{U} \cdot \overrightarrow{\mathrm{g}}=\overrightarrow{\mathrm{g}} \).

c) Sie befinden sich anfangs in Zustand \( Z_{2} \). Bestimmen Sie die Grenzverteilung.

d) Geben Sie die Grenzmatrix an. Lesen Sie daraus möglichst viele Informationen ab. Bestätigen Sie Ihre Vermutung mithilfe einer selbstgewählten Startverteilung.

Answer 1

Bei c hast du ja schon

0
0
1

als Grenzverteilung .

Das sind zugleich die drei gleichen Spalten der Grenzmatrix M.

D.h.:  Bei vielen Wiederholungen des Prozesses, stagniert er am Ende

im Zustand 3.

Answer 2

Kannst du irgendwie begünden, dass sich du egal in welchem Zustand du dich befindest langfristig immer im 3. Zustand landen wirst?

Damit ist die Grenzmatrix

[0, 0, 0;
0, 0, 0;
1, 1, 1]

Die Grenzmatrix besteht in jeder Spalte aus der Grenzverteilung.

Answer 3

Aloha :)

Bei der Grenzverteilung ändert sich der Vektor \(\vec g\) nicht mehr, d.h.

$$\left(\begin{array}{r}0,5 & 0 & 0\\0,4 & 0,5 & 0\\0,1 & 0,5 & 1\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}g_1\\g_2\\g_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}g_1\\g_2\\g_3\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{r}-0,5 & 0 & 0\\0,4 & -0,5 & 0\\0,1 & 0,5 & 0\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}g_1\\g_2\\g_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)$$

1. Zeile:\(\quad 0=-0,5\,g_1\quad\Rightarrow\quad g_1=0\)

2. Zeile:\(\quad 0=0,4\,g_1-0,5\,g_2=-0,5\,g_2\quad\Rightarrow\quad g_2=0\)

3. Zeile \(\quad 0=0,1\,g_1+0,5g_2\quad\checkmark\)

Wir können \(g_3\) also beliebig wählen. Da jedoch \(g_1+g_2+g_3=1\) und \(g_1+g_2=0\) gilt, muss \(g_3=1\) sein. Die Grenzverteilung ist daher \((0,0,1)\) und die Grenzmatrix:$$\left(\begin{array}{r}0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\1 & 1 & 1\end{array}\right)$$