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die Aufgabe lautet:

Eine nach oben offener Karton mit quadratischer Grundfläche soll bei einer vorgegebenen Oberfläche von 100cmein möglichst großes Volumen besitzen. Wie müssen die Maße des Kartons gewählt werden? Zeigen Sie, dass es keine weiteren Maxima gibt.

Mein Ansatz:

1. Extremalbedingung

V= x2  • y     / maximieren


2. Nebenbedingung

O     = x+ 4xy

100 = x+ 4xy

\( \frac{100}{4x} \) = y+x

y =\( \frac{100}{4x} \) -x2


3. Zielfunktion

V= x2  100 -xdurch 4x


Wie bilde ich jetzt die erste und zweite Ableitung?


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Aloha :)

Deine Gleichungen stimmen:$$V=x^2y\to\text{Max!}\quad;\quad x^2+4xy=100$$Die Nebenbedingung kannst du nach \(y\) umstellen:$$y=\frac{100-x^2}{4x}$$Damit erhältst du das Volumen \(V=V(x)\) in Abhängigkeit von \(x\):$$V(x)=x^2\cdot\frac{100-x^2}{4x}=x\cdot\frac{100-x^2}{4}=25x-\frac{x^3}{4}$$Die Ableitungen sind:$$V'(x)=25-\frac{3}{4}x^2$$$$V''(x)=-\frac{3}{2}x$$Die Nullstelle der ersten Ableitung bzw. der Kandidat für ein Extremum liegt bei:

$$0\stackrel{!}{=}V'(x)=25-\frac{3}{4}x^2\;\;\Leftrightarrow\;\;x^2=\frac{100}{3}\;\;\Leftrightarrow\;\;x=\frac{10}{\sqrt3}$$Beachte, dass \(x>0\) gelten muss, weil es eine Länge ist. Wir prüfen die Art des Extremums:

$$V''\left(\frac{10}{\sqrt3}\right)=-\frac{3}{2}\cdot\frac{10}{\sqrt3}=-5\sqrt3<0\quad\Rightarrow\quad\text{Maximum!}$$Fehlt nur noch \(y\):$$y=\frac{{100}-\frac{100}{3}}{4\cdot\frac{10}{\sqrt3}}=\frac{200}{3\cdot4\cdot\frac{10}{\sqrt3}}=\frac{5}{\sqrt3}$$Die gesuchten Maße sind daher:$$x=\frac{10}{\sqrt3}\quad;\quad y=\frac{5}{\sqrt3}$$

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$$100 = x^2  + 4xy~~~~~|-x^2$$

$$100 - x^2  = 4xy ~~~~~|:(4x)$$
$$y=\frac{100-x^2}{4x}$$
$$  V(x)=x^2\cdot \frac{100-x^2}{4x}$$

$$ V(x)=\frac{100x^2-x^4}{4x}$$

$$ V(x)=25x-0.25x^3 $$

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