Taylorpolynom 2.,3. und 4. Grades bestimmen

Question

Habe folgende Aufgabe aus einer Altklausur vorliegen:

Gegeben sei die Funktion \( f(x, y)=2\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}-\left(x^{2}-y^{2}\right) \)
(a) Wie lauten die Taylorpolynome vom Grad 2,3 und 4 um den Entwicklungspunkt \( \left(x_{0}, y_{0}\right)=(0,0) ? \)

Meine Frage: Gibt es einen Trick, wie man die gesuchten Taylorpolynome schnell berechnen kann? Denn es handelt sich ja um eine Klausuraufgabe, und stures Ausrechnen würde Ewigkeiten dauern...

Answer 1

Aloha :)

Wenn du die Funktionsgleichung ausrechnest und nach Potenzen (von klein nach groß) ordnest, hast du ein Polynom vom Grad 4. Die Funktion selbst ist daher ihr eigenes Taylor-Polynom 4-ter Ordnung:$$f(x,y)=2(x^2+y^2)^2-(x^2-y^2)=2(x^4-2x^2y^2+y^4)-x^2+y^2$$$$\phantom{f(x,y)}=-x^2+y^2-4x^2y^2+2x^4+2y^4$$Das Taylor-Polynom vom Grad 2 ist:$$f_2(x,y)=-x^2+y^2$$Beachte, dass der Term \(-4x^2y^2\) vom Grad 4 ist. DasTaylor-Polynom vom Grad 3 ist:$$f_3(x,y)=-x^2+y^2$$Das vom Grad 4 ist:$$f_4(x,y)=-x^2+y^2-4x^2y^2+2x^4+2y^4=f(x,y)$$

Comments

Vielen Dank, nun verstehe ich !!!!! :) :*

Answer 2

Hallo

 Polynoms sind selbst ihre Taylorplynome, also einfach ausmultiplzieren und nach Potenzen ordnen.

Gruß lul

Comments

Vielen Dank !!! :)