Bestimmen Sie die Funktion vierten Grades, deren Graph symmetrisch zur y-Achse ist und...

Question

könnt ihr mir weiterhelfen?

Bestimmen Sie die Funktion vierten Grades, deren Graph symmetrisch zur y-Achse ist und in P(2/0) eine Wendetangente mit der Steigung -(4/3) hat.

Danke

Answer 1

hi! ^^ :-)

eine funktion vierten grades in allgemeiner form:

f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e

wegen symmetrie wird b = d = 0  und übrig bleibt.

f(x) = ax^4 + cx^2 +  e

wir werden die ersten drei ableitungen brauchen
f'(x) = 4ax^3 + 2cx
f''(x) = 12ax^2 + 2c
f'''(x) = 24ax

hinreichende bedingung für wendepunkt an der stelle x:
f''(x) = 0  und f'''(x) ≠ 0

der funktionswert an der stelle x = 2 ist y = 0
diese werte setzen wir in y = ax^4 + cx^2 +  e ein und bekommen
die gleichung
0 = a*2^4 + c*2^2 +  e     I)

im punkt (2|0) ist die steigung -4/3 diese werte setzen wir in
die erste ableitung ein und erhalten die gleichung
-4/3 = 4a*2^3 + 2c*2    II)

die zweite ableitung an der stelle x = 2 muss null sein.
aus dieser bedingung bekommen wir die gleichung
0 = 12a*2^2 + 2c    III)


aus II und III können wir a und c berechnen

II)
-4/3 = 4a*2^3 + 2c*2
32a + 4c =  -4/3

III)
0 = 12a*2^2 + 2c
48a + 2c = 0

wir erhalten  
a = 1/48 und
c = -1/2

wir stellen I) nach e um und berechnen e
e = -a*2^4 + -c*2^2
e = -(1/48)*2^4 + -(-1/2)*2^2
e = 5/3 =  ≈ 1.67

damit haben wir die erforderlichen parameter bestimmt, wir können die
funktionsgleichung aufschreiben

f(x) = 1/48*x^4 + -1/2*x^2 + 5/3

wir prüfen das ergebnis mit hilfe eines funktionsplotters

 

bingo
:-)




 

Answer 2

  Achsensymmetrisch ist die Funktion 4.Grades nur falls kein Glied mit x^3 oder x vorkommt.

  f ( x ) = a*x^4 + b*x^2 + c
  f ´( x ) = 4*a*x^3 + 2*b*x
  f ´´( x ) = 12*a*x^2 + 2*b

  Bekannt sind

  f ( 2 ) = a*2^4 + b * 2^2 + c = 0
  f ´ ( 2 ) = 4*a*2^3 + 2*b*2 = -4/3
  f ´´ (2) = 12 * a * 2^2 + 2*b = 0

  f ( 2 ) = 16*a + 4*b  + c = 0
  f ´ ( 2 ) = 32*a + 4*b = -4/3
  f ´´ (2) = 48 * a  + 2*b = 0

  Wir haben 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten, also lösbar.

  a = 1/48
  b = -1/2
  c = 5/3

  f ( x ) = 1/48*x^4 - 1/2*x^2 + 5/3

  Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

  mfg Georg

Answer 3

Symmetrie zur y-Achse bedeutet, dass der Funktionsterm nur Potenzen mit geraden Exponenten hat, also in seiner allgemeinen Form so aussieht:

f ( x ) = a x ⁴ + b x ² + c

Man braucht also 3 Informationen um die Koeffizienten a, b und c bestimmen zu können:

1. Information:

Der Punkt P ( 2 | 0 ) liegt auf dem Graphen, also:

f ( 2 ) = a * 2 ⁴ + b * 2 ² + c = 0

<=> 16 a + 4 b + c = 0

2.Information:

Die Steigung von f ( x )  im Punkt P ( 2 | 0 ) beträgt - 4 / 3, also muss für die Ableitung

f ' ( x ) = 4 a x ³ + 2 b x

gelten:

f ' ( 2 ) = 4 * a * 2 ³ + 2 * b * 2 = - 4 / 3

<=> 32 a + 4 b = - 4 / 3

3. Information:

An der Stelle x = 2 liegt ein Wendepunkt vor, also muss für die zweite Ableitung

f ' ' ( x ) = 12 a x ² + 2 b

gelten:

f ' ' ( 2 ) = 12 * a * 2 ² + 2 * b = 0

<=> 48 a + 2 b =  0

Das Gleichungssystem aus den 3 fett gesetzten Gleichungen muss nun gelöst werden. Es ergibt sich:

a = 1 / 48

b = - 1 / 2

c = 5 / 3

Die gesuchte Funktion f  lautet also:

f ( x ) = ( 1 / 48 ) x ⁴ - ( 1 / 2 ) x ² + ( 5 / 3 )

Hier ein Schaubild der Funktion f :

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%2F48%29x^4-%281%2F2%29x^2%2B%285%2F3%29