Gleichung einer Umkugel angeben

Question

Hallo. Hier ein Beispiel:

Von einem Würfel kennt man die Koordinaten der Eckpunkte:

A=(0|0| 0), B=(2|0| 0), C=(2|2| 0), D=(0|2| 0)  E=(O|O| 2), F=(2|O| 2), G=(2|2| 2),

H=(O|2| 2) 

Gib eine Gleichung der sogenannten Umkugel an. ( Eine Kugel auf der alle Eckpunkte des Würfels liegen.)

Wie rechne ich das?

Answer 1

Das ist die gleiche Aufgabe wie hier

https://www.mathelounge.de/708266/mittelpunkt-und-radius-berechnen-mit-der-kugelgleichung?show=708282#a708282

z.B. mit der Strecke AG - als Würfeldiagonale

Answer 2

Der Mittelpunkt der Kugel ist nicht so schwierig zu bestimmen und da A auf der Kugel liegt, ist der Radius auch zu bewältigen.

Answer 3

Aloha :)

Der Würfel hat die Kantenlänge \(2\), liegt im 1-ten Oktanden parallel zu den Koordinatenachsen und hat den Ursprung als Ecke. Der Mittelpunkt dieses Würfels ist \((1|1|1)\). Die Diagonale dieses Würfels ist der Durchmesser \(2r\) [=2-mal Radius] des Außenkreises. Mit Hilfe des Satz von Pythagoras berechnen wir diesen Durchmesser:$$2r=\sqrt{2^2+2^2+2^2}=\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=\sqrt4\cdot\sqrt3=2\sqrt3\quad\Rightarrow\quad r=\sqrt3$$Die Gleichung dieser Kugel lautet daher:$$K:\;(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=3$$