So ein Zylinder besteht recht einfach betrachtet aus zwei Kreisen (Boden und Decke) und einem Rechteck.
Beim Rechteck entspricht die eine Seite der Höhe des Zylinders, die andere dem Umfang des Kreises.
Daraus ergibt sich für den Mantel die Form:
M = 2*pi*r*h
Zur Oberfläche gehören auch noch Boden und Deckel:
O=2*pi*r²+2*pi*r*h
V=pi *r²*h
Nun kann man durch geschicktes Termumformen jeweils das gesuchte h erhalten nun in eine der anderen Formeln einsetzen, um die zweite unbekannte Lösung zu erhalten. (Einfach gesagt, wenn man zwei Unbekannte hat, braucht man in der Mathematik mindestens zwei Terme.)
Zum Beispiel:
V=pi*r²*h auf beiden Seiten durch pi und durch r² teilen ergibt:
V/pi*r²=h jetzt kann man h in eine zweiten Term einsetzen und nach r auflösen hier in die für O
O=2*pi*r²+2*pi*r*V/pi*r²
Beim Vorhandensein von Höhe und Oberfläche sieht es so aus: Den Wert für h einsetzen und den Wert für O einsetzen dann nach r hinauflösen.
O=2*pi*r²+2*pi*r*h alles auf eine Seite bringen, das heisst null gleich
0=2*pi*r²+2*pi*r*h-O durch 2*pi teilen
0=r²+r*h-O/2-pi und jetzt die pq- Formel anwenden.
(Mit konkreten Zahlen geht es etwas leichter.)
soweit umformen, dass man entweder durch die Bildung eines Polynoms eine Lösung findet oder mit der pq-Formel eine Lösung erzielt.
