Folgen. Limes inferior und limes superior. Wie können beide (nicht) existieren?

Question

Hi!
Ich bearbeite folgende aufgäbe und bin blockiert

Geben Sie jeweils ein Beispiel für eine Folge (xn) ⊂ R an:

(i) lim infn→∞ xn, lim supn→∞ xn existieren beide nicht,

(ii) lim supn→∞ xn existiert, jedoch lim infn→∞ xn nicht,

(iii) lim infn→∞ xn < lim supn→∞ xn,

(iv) limsupn→∞xn =x∈R und für alle n∈N gilt xn >x.

danke

Comments

Bei (i) würde ich xn: = (-1)^n * n wählen.

(iv) verstehe ich nicht. Was meinst du mit Rund?
so was: ℚ  ???

Erledigt.

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zwar nicht der/die fragestellerIn, aber muss das blatt ebenfalls bearbeiten.

gemeint war x∈R UND für alle n∈N gilt xn >x

also nicht "rund". müssen beim frage stellen wohl die leerzeichen abhanden gekommen sein. ;-)

desweiteren wäre ich natürlich auch über weitere lösungsvorschläge erfreut. :-)

Answer 1

Hier mal ein paar weitere Versuche. Bitte noch nachrechnen oder in Worten begründen.

(ii) lim supn→∞ xn existiert, jedoch lim infn→∞ xn nicht,

xn := (2 + n - (-1)^n * n)
(iii) lim infn→∞ xn < lim supn→∞ xn,

xn : = 2 + (-1)^n

(iv) limsupn→∞xn =x∈R und für alle n∈N gilt xn >x.

xn := x + 1/n

Answer 2

Sorry

das ist: x in R  und für alle n in N gilt x_n >x

soll ich immer ein Beispiel nehmen und überprüfen ob alle Voraussetzungen erfüllt sind?

danke