drei mögliche Gleichungen einer Geraden bestimmen.

Question

A(3|0|-1) u. B(4|6|2) sollen auf einer Geraden liegen.

ich brauche 3 mögliche Gleichungen dazu.

ich hätte zwar eine Idee: A = Ortsvektor und B= Richtungsvektor

=> Gleichung: \( \begin{pmatrix} 3\\0\\-1 \end{pmatrix} \) +t \( \begin{pmatrix} 4\\6\\2 \end{pmatrix} \)

wäre diese Idee eine Möglichkeit? und wie kann ich noch 2 Gleichungen finden?

Answer 1

Aloha :)

$$g_1:\;\left(\begin{array}{c}3\\0\\-1\end{array}\right)+s\left[\left(\begin{array}{c}4\\6\\2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}3\\0\\-1\end{array}\right)\right]$$

$$g_2:\;\left(\begin{array}{c}3\\0\\-1\end{array}\right)+t\left[\left(\begin{array}{c}3\\0\\-1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}4\\6\\2\end{array}\right)\right]$$

$$g_3:\;\left(\begin{array}{c}4\\6\\2\end{array}\right)+u\left[\left(\begin{array}{c}4\\6\\2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}3\\0\\-1\end{array}\right)\right]$$

$$g_4:\;\left(\begin{array}{c}4\\6\\2\end{array}\right)+v\left[\left(\begin{array}{c}3\\0\\-1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}4\\6\\2\end{array}\right)\right]$$

Comments

also A + s BA dann A + t AB ; B +u AB und B+v BA
verstehe ich das richtig?

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Ja, du nimmst einen der beiden Punkte als Startpunkt. Die Differenz der beiden Vektoren ist der Richtungsvektor.

Du kannst dir das so überlegen. Der Richtungsvektor ist z.B. \(\overrightarrow{AB}\). Um vom Punkt \(A\) mit Ortsvektor \(\vec a\) zum Punkt \(B\) mit Ortsvektor \(\vec b\) zu kommen, musst du zunächst von \(A\) aus den Vektor \(-\vec a\) entlang laufen, um zum Ursprung zu kommen. Von dort aus musst du den Vektor \(+\vec b\) zum Punkt \(B\) laufen. Daher ist der Richtungsvektor:$$\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a$$

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okay danke für die Erklärung :)

Answer 2

Schon deine erste Variante ist falsch. Nicht (der Ortsvektor von) B, sondern der Vektor \( \vec{AB} \) ist ein möglicher Richtungsvektor (sein Gegenvektor übrigens auch).

Comments

Ok also ich nehme den Punkt A und den Vektor AB:
\( \begin{pmatrix} 3\\0\\-1\end{pmatrix} \) + t\( \begin{pmatrix} 1\\6\\3\end{pmatrix} \)
stimmt die Gleichung?

Ich hätte dann eine andere Idee; quasi dasselbe aber mit BA statt AB und B statt A:

\( \begin{pmatrix} 4\\6\\2 \end{pmatrix} \) + t\( \begin{pmatrix} -1\\-6\\-3 \end{pmatrix} \)

Ich bräuchte dann noch einen Ansatz, für eine dritte Gleichung