Aloha :)
Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit \(|x|\), dann erhältst du:$$\left.\left|\frac{5}{x}+x\right|<6\quad\right|\;\cdot|x|$$$$\left.\left|x^2+5\right|<6|x|\quad\right.$$$$\left.x^2+5<6|x|\quad\right.$$Damit kannst du nun die Fallunterscheidung gut durchführen.
1. Fall: \(x>0\), das heißt: \(\underline{6|x|=6x}\)$$\left.x^2+5<6x\quad\right|\;-6x$$$$\left.x^2-6x+5<0\quad\right|\;\text{Faktorzerlegung: } (-5)+(-1)=-6\quad;\quad(-5)\cdot(-1)=5$$$$\left.(x-5)(x-1)<0\quad\right.$$Fall 1a) \(\;\;(x-5)<0\;\land\;(x-1)>0\;\;\Leftrightarrow\;\;x<5\;\land x>1\quad\checkmark\)
Fall 1b) \(\;\;(x-5)>0\;\land\;(x-1)<0\;\;\Leftrightarrow\;\;x>5\;\land x<1\quad\text{Widerspruch}\)
Fall 1a) liefert die Lösung \(x\in]1;5[\), Fall 1b) führt zum Widerspruch, weil \(x\) nicht \(>5\) und \(<1\) zugleich sein kann. Der 1. Fall liefert also die Lösung:$$x\in]1;5[$$
2. Fall: \(x<0\), das heißt: \(\underline{6|x|=-6x}\)$$\left.x^2+5<-6x\quad\right|\;+6x$$$$\left.x^2+6x+5<0\quad\right|\;\text{Faktorzerlegung: } 5+1=6\quad;\quad5\cdot1=5$$$$\left.(x+5)(x+1)<0\quad\right.$$Fall 2a) \(\;\;(x+5)<0\;\land\;(x+1)>0\;\;\Leftrightarrow\;\;x<-5\;\land x>-1\quad\text{Widerspruch}\)
Fall 2b) \(\;\;(x+5)>0\;\land\;(x+1)<0\;\;\Leftrightarrow\;\;x>-5\;\land x<-1\quad\checkmark\)
Fall 2a) führt zum Widerspruch, weil \(x\) nicht \(<-5\) und \(>-1\) zugleich sein kann. Fall 2b) liefert die Lösung \(x\in]-5;-1[\), Der 2. Fall liefert also die Lösung:$$x\in]-5;-1[$$
~plot~ abs(5/x+x) ; 6 ; [[-6|6|4|8]] ~plot~
