also ich wollte zeigen, dass $$a_n := \frac{n^2+2}{n^2+1} \rightarrow 1$$, also gegen 1 konvergiert. Das ist ja genau dann der Fall, wenn $$\forall \epsilon > 0 \exists n_0 \in \mathbb{N} \forall n \ge n_0: |a_n - 1| < \epsilon$$.
Also ist so ein n0 in Abhängigkeit von Epsilon gesucht.
Das meine ich jetzt so gefunden zu haben:
$$|a_{n_0} - 1| = |\frac{n_{0}^2+2}{n_{0}^2+1}-1| = (...) = |\frac{1}{n_{0}^2 + 1}| = \frac{1}{n_{0}^2 + 1} < \epsilon$$
$$ \Leftrightarrow \frac{1}{\epsilon} < n_{0}^2 + 1 < (n_0 + 1)^2 \Leftrightarrow \sqrt{\frac{1}{\epsilon}} < n_0 + 1 \Leftrightarrow n_0 > \frac{1}{\sqrt{\epsilon}} - 1$$
Also
$$\forall \epsilon > 0, n_0 \in \mathbb{N} > \frac{1}{\sqrt{\epsilon}} - 1: \forall n \ge n_0: |a_n - 1| < \epsilon$$
sollte gelten und damit konvergiert die Folge gegen 1. Kann man hier eine gute Probe machen? Ich habe es nur für ein paar Werte von Epsilon versucht, dafür hat es geklappt.
Habe ich alles richtig gemacht und ist der Beweis gültig?
Danke,
Thilo
