Global Verlauf der Funktion

Question

Hallo erstmal :),

ich benötige Hilfe bei der folgenden Aufgabe:

Kontrolliere folgende Behauptungen zum Globalverlauf der Funktion f mit f(x)=x³ +x

- Je größer x wird, desto weniger unterscheiden sich die Funktionswerte von f(x)= x³+3 und g(x)= x³.

- Je größer x wird, desto mehr nähert sich der Quotient f(x)/g(x) dem Wert 1 an.

Liebe Grüße

Comments

Du gibst verschiedene Terme für f(x) an. Absicht oder Tippfehler?

Answer 1

Aloha :)

1) Der Unterschied zwischen den Funktionen ist abhängig von $x$, denn:$$f(x)-g(x)=(x^3+x)-x^3=x^3+x-x^3=x$$Der Unterschied zwischen den Funktionswerten wächst also mit $x$ stetig an. Die Aussage ist also falsch.

2) Wir schauen uns den Quotienten genauer an:$$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{x^3+x}{x^3}=\frac{x^3}{x^3}+\frac{x}{x^3}=1+\frac{1}{x^2}$$Tatsächlich wird mit wachsendem $x$ der Summand $\frac{1}{x^2}$ immer kleiner. Dadurch nähert sich der Quotient dem Wert $1$ immer stärker an. Die Aussage ist also richtig.

Answer 2

Kontrolliere folgende Behauptungen zum Globalverlauf der Funktion f mit f(x) = x³ + x

- Je größer x wird, desto weniger unterscheiden sich die Funktionswerte von f(x) = x³ + 3 und g(x) = x³.

Fällt dir etwas auf ?

Comments

- Je größer x wird, desto weniger unterscheiden sich die Funktionswerte von f(x)= x³ + 3 und g(x) = x³.

f(x) - g(x) = x³ + 3 - x³ = 3 → falsch. die Funktionen haben stets eine Differenz von 3.

- Je größer x wird, desto mehr nähert sich der Quotient f(x)/g(x) dem Wert 1 an.

f(x)/g(x) = (x³ + 3)/x³ = 1 + 3/x³ → richtig der Grenzwert ist 1 für x gegen unendlich.