Aloha :)
Für alle diese Aufgaben benötigst du die Regel, wie \(x^n\) integriert wird. Dazu wird der Exponent um \(1\) erhöht und anschließend wird durch den neuen Exponenten dividiert, also: \(x^n\to\frac{1}{n+1}x^{n+1}\).
a) \(f(x)=x^4+x^3+4\quad\Rightarrow\quad F(x)=\frac{x^5}{5}+\frac{x^4}{4}+4x+\text{const}.\)
b) \(f(x)=x^4-x^2-x-1\quad\Rightarrow\quad F(x)=\frac{x^5}{5}-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-x+\text{const}.\)
c) \(f(x)=-\frac{2}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5+x\quad\Rightarrow\quad F(x)=-\frac{1}{6}x^4+\frac{1}{30}x^6+\frac{x^2}{2}+\text{const}.\)
d) \(f(x)=-\frac{7}{3}x^7+\frac{1}{5}x^4-\frac{2}{3}x\quad\Rightarrow\quad F(x)=-\frac{7}{24}x^8+\frac{1}{25}x^5-\frac{1}{3}x^2+\text{const}.\)
Zur Prüfung sollst du nun \(F(x)\) wieder ableiten und verifizieren, dass \(f(x)\) herauskommt.
Bei Aufgabe 13 wartet noch eine Gemeinheit auf dich. Das Integral von \(x^{-1}\) kann man mit der Regel von oben nicht bilden. Wenn du nämlich den Exponenten um 1 erhöhst, kommt 0 raus und dann kannst du nicht durch den neuen Exponenten dividieren. Daher musst du wissen, dass eine Stammfunktion von \(x^{-1}\) bzw. \(\frac{1}{x}\) der Logarithmus ist:$$x^{-1}=\frac{1}{x}\to \ln|x|+\text{const.}$$Das sind übrigens wirklich Betragsstriche um das \(x\) herum. Damit ist nun:
a) \(f(x)=-12x^{-3}+2x^{-1}-5\quad\Rightarrow\quad F(x)=6x^{-2}+2\ln|x|-5x+\text{const}\)
b) \(f(x)=-2x^{1/2}+2x^{-1}-5\quad\Rightarrow\quad F(x)=-\frac{4}{3}x^{3/2}+2\ln|x|-5x+\text{const}\)
