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Aufgabe:

Gegeben sind die folgenden Abbildungen fk : c → c, k=1,2,3. Für x = (xi) i∈ℕ  ∈ c sei

(i) f1 (x) = (0, x0 , x1 ,...)

(ii) f2 (x) = (x1 ,x2 , x3 ,...)

(iii) f3 (x) = (x0, 1/2 x1 , 1/3 x2 ,...., 1/(i+1) xi ,...)


Wie kann man nun begründen, ob diese Abbildungen jeweils injektiv oder nicht injektiv und surjektiv oder nicht surjektiv sind?Ich habe leider gar keine Ahnung.


Vielen Dank im Voraus!

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fk : c → c

Was ist c?

Wenn c = {0}ist, dann sind alle Abbildungen injektiv und surjektiv.

Warum sollte f2 injektiv sein?

c ist der Raum der Konvergenten Folgen

c ist der Raum der Konvergenten Folgen

Aus welcher Menge kommen die Folgenglieder?

Wenn sie aus der Menge {0} kommen, dann dann sind alle Abbildungen injektiv und surjektiv.

1 Antwort

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c ist der Raum der Konvergenten Folgen

Ich gehe mal davon aus, dass damit konvergente Folgen über ℚ oder ℝ oder ℂ gemeint sind.

f1 ist injektiv aber nicht surkjektiv.

Sei x ∈ c mit xn = 1/(n+1) für alle n. Dann gibt es kein z ∈ c mit f1(z) = x.

f2 ist nicht injektiv, aber surjektiv.

Sei y ∈ c mit yn = 0 für n = 0 und yn = 1/(n+1) für alle n≠0. Dann ist f2(x) = f2(y).

f3 ist injektiv.

Aus 1/(i+1) xi = 1/(i+1) yi folgt xi = yi für jedes i ∈ ℕ.

Avatar von 105 k 🚀

Warum sollte f1(x) = f1(y) sein?

Ja, da habe ich die Indizes durcheinandergebracht.

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