Ebenenschar mithilfe einer Punktmenge bestimmen

Question

Gegeben sei die Punktmenge D_a(6-a la l1-a) und die Gerade g : \( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} 0\\-1\\-2 \end{pmatrix} \) +r * \( \begin{pmatrix} 3\\7\\-2 \end{pmatrix} \).

E_a sei die Ebenenschar, welche die Gerade g sowie die Punktmenge D_a enthält. Bestimmen Sie eine Gleichung von Ea in Koordinatenform.

Wie sollte ich bei dieser Aufgabe vorgehen?

Comments

Anbei noch mal zur Illustration

Die rote Ebene, ist die für \(a=1\), die grüne für \(a=3\) und die blaue für \(a=4\).

Klick auf das Bild, dann kannst Du die Szene mit der Maus drehen und bekommst einen besseren räumlichen Eindruck.

Answer 1

Aloha :)

Von der Gerade kennst du den Stützpunkt \((0|-1|-2)\). Der Vektor von diesem Stützpunkt zum Punkt \(D(6-a|a|1-a)\) ist der zweite Richtungsvektor der Geraden:$$\left(\begin{array}{c}6-a\\a\\1-a\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\-1\\-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6-a\\1+a\\3-a\end{array}\right)$$Die gesuchte Ebenengleichung lautet daher:$$E:\;\vec x=\left(\begin{array}{c}0\\-1\\-2\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}3\\7\\-2\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}6-a\\1+a\\3-a\end{array}\right)$$

Answer 2

Mit der Gerade d, die in E liegt, hast du für E bereits der Stützvektor \( \begin{pmatrix}0\\-1\\-2 \end{pmatrix} \) und ihren Richtungsvektor  \( \begin{pmatrix}3\\7\\-2 \end{pmatrix} \) als einen von zwei Spannvektoren.

Der zweite Spannvektor verläuft vom bereits (aus der Geradengleichung) bekannten Ebenenpunkt (0|-1|-2) zum Punkt D_a(6-a la l1-a).

Answer 3

Normalengleichung der Ebene

E: (x-a)*n=0

g: x=(0/-1/-2)+r*(3/7/-2)

wir nehmen a(0(-1/-2) als Stützpunkt(Stützvektor,weil ja die Gerade in der Ebene liegt

Normalenvektor der Ebene n(nx/ny/nz)  dieser steht senkrecht auf den Richtungsvektor m(3/7/-2)

Dafür muß das Skalarprokukt NULL sein a*b=ax*bx+ay*by+az*bz=0

n*m=nx*mx+ny*my+nz*mz=0

setze mal nz=1 und ny=2  dann kannst du nx=? ausrechnen

Probier mal,ob das funktioniert.