Berührung g(x) mit f(x)

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x)= x^2-2x+2 Durch den Punkt(0/-2) werden Geraden gelegt. Welche berühren das Schaubild der f(x)?

Answer 1

Durch den Punkt(0/-2) werden Geraden gelegt.

\(g_m(x) = mx -2\)

Welche berühren das Schaubild der f(x)?

\(\begin{aligned} g_{m}(x) & =f(x)\\ mx-2 & =x^{2}-2x+2\\ x^{2}-(2+m)x+4 & =0\\ x & =\frac{2+m}{2}\pm\sqrt{\frac{2+m}{2}-4} \end{aligned}\)

Die Gleichung hat genau eine Lösung, wenn \(\frac{2+m}{2}-4 = 0\) ist. In diesem Fall berührt die Gerade das Schaubild von \(f\).

Beachte, dass das eine Besonderheit von quadratischen Funktionen ist und nicht auf allen anderen Funktionen verallgemeinert werden kann.

Answer 2

Schnittpunkt der Geradenschaar g_m(x)=m·x-2 mit f(x)= x²-2x+2 in Abhängigkeit von m bestimmen. Für welche Wahl von m kann es nur einen Schnittpunkt (x_s|y_s) geben?

Answer 3

Aloha :)

Eine Gerade durch den Punkt \((0|-2)\) hat die Gleichung:$$g(x)=m\cdot x-2$$Diese Gerade soll die Funktion$$f(x)=x^2-2x+2$$ "berühren". In einem Berührpunkt \(x_0\) sind die Funktionswerte und die Steigungen gleich:$$f(x_0)=g(x_0)\quad\text{und}\quad m=f'(x_0)=2x_0-2$$Wir setzen das alles zusammen:$$\left.f(x_0)=g(x_0)\quad\right|\;\text{einsetzen}$$$$\left.x_0^2-2x_0+2=\underbrace{(2x_0-2)}_{=m}\cdot x_0-2\quad\right|\;\text{rechts vereinfachen}$$$$\left.x_0^2-2x_0+2=2x_0^2-2x_0-2\quad\right|\;-x_0^2+2x_0+2$$$$\left.4=x_0^2\quad\right|\;\sqrt{\cdots}$$$$x_0=\pm2$$Das liefert uns zwei Geraden:$$g_1(x)=(2\cdot2-2)\cdot x-2\quad\Rightarrow\quad \underline{g_1(x)=2x-2}$$$$g_2(x)=(2\cdot(-2)-2)\cdot x-2\quad\Rightarrow\quad \underline{g_2(x)=-6x-2}$$

~plot~ x^2-2x+2 ; 2x-2 ; -6x-2 ; {0|-2} ; {-2|10} ; {2|2} ; [[-5|5|-3|20]] ~plot~