Bestimmen Sie die Funktionsgleichung des Polynoms

Question

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung des Polynoms

„Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades berührt die x-Achse im Punkt P(4/0). Die Funktion besitzt eine negative Nullstelle und an der Stelle x=2 liegt ein Wendepunkt. Die vom Graphen und der x-Achse eingeschlossene Fläche im ersten Quadranten beträgt 32. Bestimme die Funktionsfleichung des Polynoms.“

Hi

Wie viel ich bis jtz habe:

3. Grades= f(x)=ax^3 + bx^2 + cx + d habe f(4)=0 gemacht und als

1. Gleichung:64a+16b+4c+d=0 gekriegt

und f(2)‘‘=0(also den Wendepunkt) gemacht als

2.Gleichung: f(2)‘‘=0 —> 12a+2b gekriegt

Nun kann man ja noch irgendwie eine Gleichung durch Integralrechnung bekommen, hier weiss ich jedoch nicht mit welcher Gleichung (ist es mit f(x)=ax^3 + bx^2 + cx + d?) und von wo bis wo die grenzen sind....

& wenn ich dann 3gleichungen habe, wie muss ich dann vorgehen um auf die Funktionsgleichung zu gelangen?

Vielen Dank im Voraus

Gefragt 22 Apr 2020 von schlechtinmathe2

2 Antworten

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 3. Grades berührt die x-Achse im Punkt P(4/0). Die Funktion besitzt eine negative Nullstelle und an der Stelle x=2 liegt ein Wendepunkt. Die vom Graphen und der x-Achse eingeschlossene Fläche im ersten Quadranten beträgt 32. Bestimme die Funktionsfleichung des Polynoms.

f(x) = a·(x - 4)^2·(x + b) = a·x^3 + a·b·x^2 - 8·a·x^2 - 8·a·b·x + 16·a·x + 16·a·b

f'(x) = 3·a·x^2 + 2·a·x·(b - 8) + a·(16 - 8·b)

f''(x) = 6·a·x + 2·a·(b - 8)

f''(2) = 0 --> a·(b - 2) = 0 → b = 2

f(x) = a·(x - 4)^2·(x + 2)

g(x) = (x - 4)^2·(x + 2)

∫ (0 bis 4) g(x) dx = 64 → Da diese Fläche doppelt so groß ist, muss der Streckfaktor a = 0.5 sein.

f(x) = 0.5·(x - 4)^2·(x + 2)

Skizze:

~plot~ 0.5·(x - 4)^2·(x + 2);[[-3|6|-2|18]] ~plot~

Beantwortet 22 Apr 2020 von Der_Mathecoach

Tschakabumba · Answer 1 · 2020-04-22T11:55:46+0000

Aloha :)

Der Graph "berührt" die $x$-Achse im Punkt $(4|0)$ bedeutet, dass bei $x=4$ eine doppelte Nullstelle liegt. Der Funktionsterm enhält also den Faktor $(x-4)^2$. Die Funktion bestitzt eine negative Nullstelle, etwa bei $x=-b$. Dann gibt es einen weiteren Faktor $(x+b)$. Damit die Nullstelle auch negativ ist, muss $b>0$ sein. Daher wählen wir den Ansatz:$$f(x)=a(x+b)(x-4)^2\quad;\quad a\ne0\;;\;b>0$$Bei $x=2$ liegt ein Wendepunkt, also muss dort die 2-te Ableitung gleich Null sein. Zum einfacheren Ableiten rechnen wir den Ansatz von oben zumindest teilweise aus:$$f(x)=(ax+ab)(x^2-8x+16)$$$$f'(x)=a(x^2-8x+16)+(ax+ab)(2x-8)$$$$f''(x)=a(2x-8)+a(2x-8)+(ax+ab)\cdot2=2a(2x-8)+2a(x+b)$$Nun setzen wir die Wendepunkt-Bedingung ein:$$0=f''(2)=2a(4-8)+2a(2+b)=-8a+4a+2ab=-4a+2ab$$$$\phantom{0}=2a(b-2)\quad\Rightarrow\quad b=2$$Da $a$ nicht gleich Null sein darf (sonst hätten wir $f(x)=0$), muss $b=2$ sein. Vor dem letzten Hinweis haben wir folgendes Zwischenergebnis:$$f(x)=a(x+2)(x-4)^2$$Der Graph durchläuft den ersten Quadranten im Intervall $x\in[0|4]$. Die dabe eingeschlossene Fläche soll $32$ sein:$$32=\int\limits_0^4a(x+2)(x-4)^2dx=a\int\limits_0^4(x+2)(x^2-8x+16)dx$$$$\phantom{32}=a\int\limits_0^4(x^3-6x^2+32)dx=a\left[\frac{x^4}{4}-2x^3+32x\right]_0^4$$$$\phantom{32}=a\left(4^3-2\cdot4^3+32\cdot4\right)=64a$$Also ist $a=\frac{1}{2}$ und wir haben die Funktion gefunden:$$f(x)=\frac{1}{2}(x+2)(x-4)^2$$

~plot~ 0,5(x+2)(x-4)^2 ; {4|0} ; {-2|0} ; {2|8} ; [[-3|6|-2|17]] ~plot~

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